Esta postagem refere-se a um texto que havia sido pesquisado e editado para um projeto de "blog-fórum" que tive com outro professor, mas que não demos seguimento. Nele discorremos sobre Fibonacci, o número de ouro, o problema dos coelhos e alguns elementos da sequência de Fibonacci.
O Matemático Fibonacci - Leonardo de Pisa
Leonardo Pisano (Leonardo de Pisa) foi um dos matemáticos mais importantes da idade média. Conhecido como Fibonacci, Leonardo nasceu por volta de $1180$ em Pisa (Toscânia), uma das primeiras cidades comerciais italianas e que manteve um comércio florescente com o mundo árabe. Seu pai (Guglielmo dei Bonacci) era um percador que trabalhou no norte da África, e foi através da profissão do pai que Fibonacci teve o primeiro contato com o sistema decimal hindu-árabe (conhecimento matemático islâmico).
Em seu regresso a Pisa, em $1202$, escreveu sua obra mais célebre, "Liber Abaci", que foi também um meio pelo qual a numeração hindu-árabe foi introduzida na Europa Ocidental. No livro é explicado como usar estes numerais nas operações aritméticas, abordava-se diversos temas de álgebra e geometria, e também propunha vários problemas.
Ele se tornou conhecido devido a um problema que existia em seu livro, o Problema dos Coelhos; a solução para este problema é uma sequência numérica. O nome Fibonacci foi conhecido a partir de que um matemático francês, Edouard Lucas, que em um de seus trabalhos ligou o nome de Fibonacci a essa sequência.
No livro, Liber Abaci, Fibonacci apresenta o método dos hindus que conhecemos por algarismos arábicos, o livro retratava a numeração por meio dos dígitos de $0$ a $9$ e a notação posicional, esclarecendo o sistema de posição árabe dos números e incluindo o zero. Teve ainda outras duas obras de destaque, Pratica Geometrae ($1220$) e Liber Quadratorum ($1225$).
A contribuição de Fibonacci para o conhecimento matemático de sua época foi reconhecida por Frederico II, então imperador do Sacro Império Romano Germânico. Financeiramente, o matemático foi apoiado por um decreto da República de Pisa que em $1240$ outorgou a Fibonacci um salário em reconhecimento aos serviços que havia prestado. Tal decreto é o único documento conhecido que se refere à Fibonacci.
Fibonacci morreu, provavelmente em Pisa. No século XIX, uma estátua foi erguida em Pisa, em sua homenagem. Hoje está localizada na galeria ocidental do Camposanto, cemitério histórico de Piazza dei Miracoli.
"Phi", Número de Ouro dos Gregos
$\Phi$ é a vigésima-primeira letra do alfabeto grego. No sistema numérico grego vale $500$. Era pronunciado como "fi" e transcrito como "phi".
A letra $\Phi$ possui várias representações, dentre elas estão:
a) Em matemática, o número de ouro, que é um número irracional misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão.
b) Em engenharia elétrica, "phi" ($\varphi$, $\phi$ - minúscula) representa o ângulo de fase entre corrente e tensão que determina o fator de potência de um circuito elétrico.
c) Em termologia, "phi" ($\Phi$ - maiúsculo) é usado para representar diâmetro.
d) O phi ($\Phi$ - maiúsculo) também é utilizado para substituir o número zero.
e) Em minúsculo é usada como logo para representar a filosofia.
f) Em Lacan, a letra maiúscula representa o falso simbólico enquanto a letra minúscula presenta a castração.
São designados dois motivos para adotar a letra phi como símbolo:
- A letra F de florestas, forst em alemão, forêt em francês. A Alemanha e a França foram os primeiros países no ocidente a ensinar a ciência florestal em nível universitário;
- O phi é adotado para identificar a Sequência de Fibonacci, uma equação matemática encontrada na disposição de elementos nos vegetais, tais como disposição das sementes no girassol ou a disposição da inserção dos ramos ou pétalas em diversas famílias, formando estruturas de grande impressão visual.
O símbolo $\Phi$ foi instituído ainda no século XIX como símbolo da Engenharia Florestal, não se conhecendo pormenores sobre esta adoção, mas presume-se que tenha sido na Alemanha onde surgiram as primeiras associações de Engenheiros e Técnicos Florestais.
$\Phi = \cfrac {1+\sqrt{5}}{2}= 1,16180339887...$
Essa expressão era muito utilizada por Fídias (c. 490 a.C. - 432 a.C.), escultor grego encarregado da construção do Parthenon, templo situado em Atenas e que data de 440 a.C. Em homenagem a esse escultor, utilizamos o $\Phi $ para representar a razão de ouro.
Para os gregos antigos, esse número representava harmonia, equilíbrio e beleza. Ele aparece em diversos lugares, como, por exemplo, no corpo humano, nas artes, na arquitetura e na natureza.
O Problema dos Coelhos
Em $1202$, Leonardo de Pisa, conhecido por Fibonacci, formulou em uma de suas obras, Liber Abaci, o seguinte problema dos coelhos:
No primeiro mês temos um casal de coelhos que acabaram de nascer; os coelhos só atingem a maturidade sexual ao fim de um mês; o período de gestação de um coelho dura um mês; ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses;
A mãe terá todos os meses um casal de coelhos;
Os coelhos nunca morre; nas hipóteses dadas, quantos casais de coelhos existirão daqui a um ano?
1 = Observe que no início do primeiro mês temos um casal de coelhos. (O casal original).
1 = Só após o primeiro mês este casal se tornará fértil, e então ainda não nascem coelhos no segundo mês, temos ainda um casal de coelhos.
2 = No terceiro mês, o casal original terá seu primeiro casal de coelhos, teremos então dois casais de coelhos.
3 = No quarto mês, o casal original terá mais um casal de coelhos, e o primeiro casal nascido ainda não estará fértil, teremos então três casais de coelhos.
5 = No quinto mês, o casal original terá outro casal de coelhos, o primeiro casal nascido estará fértil e terá seu primeiro casal de coelhos e o casal de coelhos gerado no mês anterior ainda não estará fértil, teremos então cinco casais de coelhos.
Observe, que acabamos de descrever a árvore de coelhos que se apresenta na imagem. E isso segue, sucessivamente e indefinidamente, já que os coelhos não morrem e sempre nascem casais.
Fazendo a análise desta árvore, tem-se que a cada mês o número de casal de coelhos é dado por:
$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...$
Retornando ao problema, teremos que ao final de um ano haverão $144$ casais de coelhos.
Uma curiosidade sobre o problema dos coelhos e que vale verificar é um software que simula a situação descrita neste problema e que pode ser encontrado a partir do artigo "Fibonacci: Problema dos Coelhos".
Os Primeiros Elementos da Sequência de Fibonacci
Os dois primeiros elementos são $1$ e $1$, a partir daí um novo número na sequência é a soma dos dois anteriores...
Referências
CRUZ, José H. da, MIZUKOSHI, Marina T. SANTOS, Ronaldo A. Recorrências do tipo Fibonacci e Aplicações. Disponível em: http://mat.ufg.br/bienal/2006/pdf/minicursos.pdf. Acesso em: 23 jun. 2013.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Projeto Teláris. Editora Ática, São Paulo 2013. Fibonacci Numbers and the Golden Section. Disponível em: http://www.maths.surrey.ac.uk/hostedsites/R.Knott/Fibonacci/fib.html, acesso em 18 ago. 2013.
PEREIRA, Lívia da Cás. FERREIRA, Marcio Violante. Sequência de Fibonacci: História, propriedades e relações com a Razão Áurea. Disponível em:, acesso em: 10 ago. 2013.
Portal Ciência à Mão. Fibonacci: Problema dos Coelhos. Simulador (software). Disponível em: http://www.cienciamao.usp.br/tudo/exibir.php?midia=tex&cod=_fibonacciproblemadoscoelhos. Acesso em: 23 jun. 2013.
UNIVERSIDADE DE LISBOA. O Número de Ouro. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm, acesso em 26 de mai. 2013.
WIKIPÉDIA. Leonardo Fibonacci. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci, acesso em: 10 ago. 2013.
WIKIPÉDIA. Φ. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A6, acesso em 26 de mai. 2013.
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