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Números Curiosos: Manipulando Números

Confira uma curiosidade sobre o número 1.089 e a tabuada de 37 com múltiplos de 3.
Números Curiosos: Manipulando Números

A) Num dos blogs parceiros do "União dos Blogs de Matemática" relembrei uma curiosidade sobre o número 1089 que capturei doutra fonte:

O "truque"


Peça a alguém para que pense em um número de três dígitos, de tal modo que o primeiro dígito seja diferente do último. Por exemplo, $123$. Em seguida, peça para que inverta a posição dos dígitos, neste caso, será $321$.

Como o primeiro dígito é diferente do último, os dois números serão diferentes, de modo que um será maior que o outro. Subtraia o menor do maior, no caso $321 - 123 = 198$.

Novamente, troque a ordem dos dígitos, mas desta vez, com o resultado. Aqui, ficará $891$.

Some o resultado da subtração com o número obtido nesta última permuta.

O resultado sempre será $1089$.

Demonstração


Seja o número original da forma $a \cdot 100 + b \cdot 10 + c$, com $a$, $b$, $c$ de $0$ a $9$.

O número com os dígitos em ordem inversa será $c \cdot 100 + b \cdot 10 + a$. 

Subtraindo um de outro, supondo $a > c$, conseguiremos

$(a - c) \cdot 100 + (b - b) \cdot 10 + (c - a) = (a - c) \cdot 100 + (c - a)$

Subtraindo $100$ da primeira parcela e somando ao final da expressão será

 $(a - c - 1) \cdot 100 + (c - a) + 100$, ou seja,

$(a - c - 1) \cdot 100 + 9 \cdot 10 + (c - a + 10)$.

Deste modo, como $a > c$, então a é maior ou igual a $c + 1$ e $a - c - 1$ é maior ou igual a $0$.

Além disso, $a > c$, então, $c - a < 0$. Como a é menor ou igual a $9$ e $c$ é maior ou igual a $0$, então $-a$ é maior ou igual a $- 9$ e $c - a$ é maior ou igual a $- 9$, logo $c - a$ é maior ou igual a $- 9$ e menor que zero, então $c - a + 10$ é maior ou igual a $1$ e menor ou igual a $9$.

Deste modo, ao inverter os dígitos deste número temos

$(c - 1 + 10) \cdot 100 + 9 \cdot 10 + (a - c - 1)$.

Somando os dois números temos
$= [(a - c - 1) + (c - a + 10)] \cdot 100 + (9 + 9) \cdot 10 + [(c - a + 10) + (a - c - 1)]$
$= 9 \cdot 100 + 18 \cdot 10 + 9$
$= 900 + 180 + 9$
$= 1089$.

O Número Mágico. http://www.mtm.ufsc.br/lemat/1089.pdf, acesso em 16 set. 2012.
O Número Mágico. , acesso em 16 set. 2012.


B) Quando da leitura sobre o número $1.089$ no post do Vivendo entre símbolos, encontrei um pequeno código que faz uma brincadeira interessante, acesse e confira, ele encontrará o número que você pensou! O Número Mágico, em As Piadas.


C) Faça um teste!!! Multiplique o número $37$ pelos múltiplos de $3$ [diferente de zero]:
$37 \cdot 3 = 111$
$37 \cdot 6 = 222$
$37 \cdot 9 = 333$
$37 \cdot 12 = 444$
(...)
$37 \cdot 27 = 999$
$37 \cdot 30 = 1110$
$37 \cdot 33 = 1221$
$37 \cdot 36 = 1332$
$37 \cdot 39 = 1443$
$37 \cdot 42 = 1554$
$37 \cdot 45 = 1665$
$37 \cdot 48 = 1776$
$37 \cdot 51 = 1887$
$37 \cdot 54 = 1998$
(...)

Confira um pouco mais sobre o número 37 no Clube de Matemática.

Charles Bastos

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6 comentários:

  1. Olá multiplicador. !!! Vim conhecer seu blog e gostei muito. Muito legal e interessante este post.
    Amigo,tenho um grupo de divulgação de blogs chamado ENTRE BLOGS, será muito bom ter seu blog no grupo, se quiser participar só é preciso acessar e se inscrever.

    Bjuuuss

    Cris
    Blog Crescimento Cristão
    Entre Blogs Grupo de Divulgação
    Fan Page Cristãos em Construção

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  2. Oi Cris...

    Vou visitar seus blogs, e quero sim parceria... O Link do ENTRE BLOGS coincide com outro blog!

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  3. Olá Charles! Vim conhecer o seu blog e o achei bem interessante, pois adoro matemática. Sou Filósofo e Antropólogo, mas tudo me interessa. Toda forma de saber vale a pena.
    Essas curiosidades dos números me encantam, como os quadrados de números e outros.
    Convido-o a visitar meu espaço também.
    Um abraço!

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    1. Olá Augusto Sperchi... Farei sim em breve uma visita e esteja a vontade para retornar a este blog.

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  4. Olá Charles:

    Peça a alguém para que pense em um número de três dígitos, de tal modo que o primeiro dígito seja diferente do último. Por exemplo, 122. Invertendo, obtém-se: 221.Subtraindo o menor do maior: 221 - 122 = 99. 99 + 99 = 198.
    Além do primeiro dígito ser diferente do último, a diferença entre os dois dígitos tem de ser maior que a unidade.

    Abraços

    Prof. Sebá

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    Respostas
    1. Olá Sebá!

      Legal. Uma curiosidade em realizar o procedimento que consta na postagem e que você indica o exemplo:

      Nesse caso seria que a diferença é sempre $99 \cdot k$, com $k$ um número natural dado pelo módulo da diferença entre os algarismos da centena dos dois números escolhidos.

      Exemplos:
      a) $935 − 539 = 396 = 4 \cdot 99$, veja que $k = 4 = 9 − 5$

      b) $623 − 326 = 297 = 3 \cdot 99$, veja que $k = 3 = 6 − 3$.

      Nestes dois casos perceba o indicado na postagem:
      a) $396 + 693 = 1.089$

      b) $297 + 792 = 1.089$

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