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O relógio e as horas representadas por cálculos

Observações sobre cálculos presentes na representação das horas em relógios.
Vamos conferir os cálculos da imagem de dois relógios dos vários que encontrei na internet.

Cálculos Com 9

Me deparei com a imagem abaixo, que brinca com algumas operações matemáticas, em que os resultados são cada uma das $12$ horas do relógio, em um post no Facebook.

O relógio e as horas representadas por cálculos

Havia um comentário dizendo sobre um erro para uma das horas. Foi então que resolvi verificar. Cálculos simples e realmente, apesar de muitos contra e até de explicações similares e para alguns convincentes,  há um erro de escrita.

Verifique que:
$1$ é igual $\cfrac { 9 }{9  } $
$2$ é igual $\cfrac { 9 + 9 }{9  } $
$3$ é igual $\sqrt{9} + 9 - 9$
$4$ é igual $\sqrt{9} + \cfrac { 9 }{9  } $
$5$ NÃO é igual a $\sqrt{9!} - \cfrac { 9 }{9  }$ (erro que era destacado nas discussões)
$6$ é igual $9 - \cfrac { 9 }{\sqrt{9 } }$
$7$ é igual $9 - \sqrt{9} + 0,9...$ (uma aproximação)
$8$ é igual $9 - \cfrac { 9 }{9  } $
$9$ é igual a $\sqrt [  9]{9^9  } $
$10$ é igual a $9 + \cfrac { 9 }{9  } $
$11$ é igual a $\cfrac { 99 }{9  }$
$12$ é igual a $9 + \cfrac { 9 }{\sqrt{9}  }$

Observe que o possível erro é simples, deveria ser $\sqrt{9}! - \cfrac { 9 }{9 }$ ao contrário de $\sqrt{9!} - \cfrac { 9 }{9 }$. No caso (que está correto) apresentado na figura, o fatorial é para a raiz, e não para o radicando. O fatorial está fora do radical (raiz). Do modo que que foi sugerido nos comentários, é preciso resolver o radicando primeiro $9! = 362.880$, e então calcular a raiz deste valor, que é aproximadamente $602,4$; tendo como resultado final, uma aproximação de $601,4$.

Com a troca teríamos:
$= \sqrt{9}! - \cfrac {9}{9}$
$= 3! - 1$
$= 6 - 1$
$= 5$

Notações e aproximações


Este relógio permite comentar sobre algumas questões interessantes como, aproximação, notação e rigor.

O relógio e as horas representadas por cálculos

Verificando

  • $1$ é igual a $102.413 - 102.412$;
  • $2$ é igual a $\sqrt{4}$;
  • $3$ é igual a $\cfrac{198}{66}$ (observe a notação diferente);
  • $4$ é igual a $x$;
  • $5$ é igual a $\cfrac{630}{126}$ (observe a notação diferente);
  • $6$ é igual a $\cfrac{1}{8} \cdot \cfrac{96}{2}$;
  • $7$ é igual a $x$, se houver uma condição para $x$;
  • $8$ é igual a $\sqrt{64}$;
  • $9$ não é igual $3 \cdot (\pi - 0,14)$, aqui existem algumas questões por verificar!
  • $10$ é igual $x$;
  • $11$ é igual a $\cfrac{1.221}{11}$ (observe a notação diferente);
  • $12$ é igual a $6 \cdot 2$.

    Resultado 4

    $\cfrac{50}{2}= \cfrac{100}{x}$
    $50x = 200$
    $x = \cfrac{200}{50}$
    $x = 4$

    Resultado 6

    $\cfrac{1}{8} \cdot{96}{2}= \cfrac{1}{8} \cdot 48 = 6$


    Resultado 7

    $55 - x^2 + x = 10$
    $-x^2 + x + 42 = 0$
    Método resolutivo Bhaskara:
    $a = -1$, $b = 1$ e $c = 42$.
    $\Delta = b^2 - 4ac$
    $\Delta = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 42$
    $\Delta = 169$
    $x = \cfrac{-1\pm \sqrt{169}}{2 \cdot (-1)}$
    $x_1 = 7$ e $x_2 = -6$

    Observe que o valor negativo não serve para a questão. Uma condição para $x$ seria: $x$ é um número pertencente ao conjunto dos números inteiros não negativos.

    Resultado 10

    $-8 = 2 - x$
    $x = 2 + 8$
    $x = 10$

    Resultado 9

    Trato deste resultado por último por duas questões:
    • a notação $.14$ para indicar $0,14$ conforme é possível e compreendido por máquinas calculáveis; já na escrita, acredito que não seja adequado, é uma notação errada;
    • ao usar o $.14$, assume-se que $\pi$ valha $3,14$ e assim tem-se $3,14 - 0,14 = 3$; isso também é um erro, pois não se deve assumir que $\pi$ tenha este valor, ou é, que ele seja um número finito.

    Assumindo a notação, o resultado seria $3 \cdot (3,14 - 0,14) = 3 \cdot 3 = 9$

    Notação

    Não tinha conhecimento da notação para os resultados 4, 5 e 9, percebi que ela se refere à divisão, mas ainda não encontrei uma explicação para o símbolo. 



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