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Duas versões para as Leis de De Morgan

Leis de De Morgan e exemplo de uma questão da disciplina de Matemática Discreta do PROFMAT 2014
Confira nesta postagem, um pouco sobre o matemático e lógico indiano, radicado na Inglaterra, Augustus De Morgan (que se interessava por números ímpares e por curiosidades numéricas) e uma questão que remente às "leis de De Morgan".

Duas versões para as Leis de De Morgan

A questão apresentada mais abaixo, foi proposta em uma das avaliações da disciplina de Números e Funções Reais do Mestrado Profissional em Matemática (PROFMAT) de 2014.

Augustus De Morgan

Augustus De Morgan, nasceu em 27 de junho de 1806, em Madura, Madras Presidency, Índia. Logo que nasceu, perdeu a visão do olho direito. Aos sete meses foi para a Inglaterra com sua família. Seu pai faleceu quando ele tinha 10 anos. Devido à sua deficiência, não participava das atividades que outros meninos e vivia sendo minorizado por alguns colegas de escola.

Duas versões para as Leis de De MorganIngressou no Trinity College de Cambridge em 1823, onde foi ensinado por Pavão e Whewell. Graduou-se por lá, em quarto lugar. Não ingressou em Cambridge e Oxford para cursar mestrado, por negar-se a participar de exame religioso. Em 1826, retornou para sua casa em Londres e em 1827 foi nomeado à cadeira de matemática no University College de Londres. Um ano mais, tornou-se o primeiro professor de matemática na University College e neste cargo esteve até 1866, por exceção do período de 1831 a 1836 em que esteve distante do cargo.

Publicou em 1831, Elementos de aritmética, destacando em seu tratamento filosófico sobre as ideias de número e magnitude. Teve grande contribuição para o conhecimento na reformulação da lógica. Quase todo o renascimento da lógica deveu-se a De Morgan e Boole (matemático inglês). Suas mais importantes realizações foram o lançamento das fundações de relações e a preparação do caminho para o nascimento da lógica simbólica.

Foi co-fundador da Sociedade Matemática de Londres em 1866 e tornou-se seu primeiro presidente. Faleceu em 18 de março de 1871, em Londres.

Leis de Morgan

Primeiras Leis de Morgan:
Sendo $p$ e $q$ duas proposições e $\sim $, $\wedge $ e $\vee $, respectivamente, os símbolos das operações lógicas negação, conjunção e disjunção, as Primeiras Leis de Morgan podem ser apresentadas simbolicamente por:
1. $\sim \left( p\wedge q \right) =\sim p \vee \sim q$, que indica a negação simultânea de $p$ e $q$ é o mesmo que negar ao menos uma das proposições $p$ ou $q$.
2. $\sim \left( p\vee q \right) =\sim p \wedge \sim q$, que indica que negar ao menos uma das proposições $p$ ou $q$ é o mesmo que negar a ocorrência das duas proposições simultaneamente.

Correspondendo as proposições aos conjuntos $A$ e $B$ e tendo $\overline{ A }$, $\overline{ B }$, $\cap $ e $\cup $, respectivamente, complementar de A, complementar de B, interseção e reunião, as Primeiras Leis de Morgan podem ser representadas do seguinte modo:
$\overline { \left( A\cap B \right)  } =\overline { A } \cup \overline { B } $, que equivale a: o complementar da interseção de dois conjuntos é igual à reunião dos complementares dos conjuntos iniciais.
$\overline { \left( A\cup B \right)  } =\overline { A } \cap \overline { B } $, que equivale a: o complementar da reunião de dois conjuntos é igual à interseção dos complementares dos conjuntos iniciais.

Segundas Leis de Morgan:
Referem-se à possibilidade de negação de proposições com quantificadores.
Exemplos: (a) dada a expressão proposicional (condição) $p(x)$, em que $x \in A$, conjunto de números reais, a expressão $\forall   x \in A: p$ é lida "para todo elemento do conjunto $A$, verifica-se a condição $p$", ou é, qualquer que seja o valor de $A$ pelo qual substituímos $x$, $p(x)$ transforma-se numa proposição verdadeira.
(b) Por outro lado, a expressão $\exists  x\in A:p\left( x \right) $, é lida "existe pelo menos um elemento de $A$ que verifica $p$, ou é, existe pelo menos um valor da variável $x$, para a qual $p\left( x \right)$ se transforma numa proposição verdadeira.
As negações de (a) e (b) constituem as Segundas Leis de Morgan:
$\sim \left[ \forall  x\in A:p\left( x \right)  \right] \Leftrightarrow \exists  x\in A:\sim p\left( x \right) $
$\sim \left[ \exists  x\in A:p\left( x \right)  \right] \Leftrightarrow \forall  x\in A:\sim p\left( x \right) $

Questão

Sejam $A$, $B$ e $C$ conjuntos. Prove que
(a) $A-\left( B\cup C \right) =\left( A-B \right) \cap \left( A-C \right)$

(b) $A-\left( B\cap C \right) =\left( A-B \right) \cup \left( A-C \right) $

As identidades acima são versões para três conjuntos das "leis de De Morgan", em homenagem ao matemático Augustus De Morgan (1806-1871), um dos pais da lógica matemática moderna.

Solução:
(a) É preciso verificar que
I) $A-\left( B\cup C \right) \subset \left( A-B \right) \cap \left( A-C \right)$ e que
II) $\left( A-B \right) \cap \left( A-C \right) \subset A-\left( B\cup C \right) $
I)
Tome $x\in \left[ A-\left( B\cup C \right)  \right] $, então $x\in A$ e $x\notin \left( B\cup C \right) $. Se $x\notin \left( B\cup C \right)$, então $x\notin B$ e $x\notin C$.
Mas então, tem-se: $x\in A$ e $x\notin B$ $\Rightarrow x\in \left( A-B \right) $ e de mesmo modo, $x\in A$ e $x\notin C$ $\Rightarrow x\in \left( A-C \right) $; e assim $\Rightarrow x\in \left( A-B \right) \cap \left( A-C \right)$.
Com isso, $A-\left( B\cup C \right) \subset \left( A-B \right) \cap \left( A-C \right)$.
II)
Tome $x\in \left( A-B \right) \cap \left( A-C \right) $, então $x\in \left( A-B \right)$ e $x\in \left( A-C \right) $.
Se $x\in \left( A-B \right) $, então $x\in A$ e $x\notin B$ e se $x\in \left( A-C \right) $, então $x\in A$ e $x\notin C$. Disso, $x\in A$, $x\notin B$ e $x\notin C$;
Assim, $x\in A$ e $x\notin \left( B\cup C \right) \Rightarrow x\in \left[ A-\left( B\cup C \right)  \right]$.
Com isso, $\left( A-B \right) \cap \left( A-C \right) \subset A-\left( B\cup C \right) $.

Portanto, se $A-\left( B\cup C \right) \subset \left( A-B \right) \cap \left( A-C \right) $ e $\left( A-B \right) \cap \left( A-C \right) \subset A-\left( B\cup C \right)$, temos que $A-\left( B\cup C \right) =\left( A-B \right) \cap \left( A-C \right) $. $\blacksquare$


(b) É preciso verificar que
I) $A-\left( B\cap C \right) \subset \left( A-B \right) \cup \left( A-C \right)$ e que
II) $\left( A-B \right) \cup \left( A-C \right) \subset A-\left( B\cap C \right)$.
I)
Tome $x\in \left[ A-\left( B\cap C \right)  \right]$, então $x \in A$ e $x\notin \left( B\cap C \right)$. Se $x\notin \left( B\cap C \right)$, então $(i)$ $x \notin B$ ou $(ii)$ $x \notin C$.
$(i)$ Se $x \notin B$, como $x \in A$ e $x\notin \left( B\cap C \right)$, então $x \in \left( A-B \right)$.
$(i)$ Se $x \notin C$, como $x \in A$ e $x\notin \left( B\cap C \right)$, então $x \in \left( A-C \right)$.
Com $i$ e $ii$, $x\in \left( A-B \right) \cup \left( A-C \right) \Rightarrow A-\left( B\cap C \right) \subset \left( A-B \right) \cup \left( A-C \right)$.
Comentário. Em $x\notin \left( B\cap C \right)$, observando apenas aí, pode $x$ pertencer a um deles e não pertencer ao outro que $x\notin \left( B\cap C \right)$ é válido.
II)
Tome $x\in \left[ \left( A-B \right) \cup \left( A-C \right)  \right]$, então
$(i)$ $x\in \left( A-B \right)$ ou $(ii)$ $x\in \left( A-C \right) $. 
$(i)$ Se $x\in \left( A-B \right)$, então $x \in A$ e $x \notin B$.
$(ii)$ Se $x\in \left( A-C \right)$, então $x \in A$ e $x \notin C$.
De $x \in A$ e $x \in B$ ou $x \notin C$.
Assim, $x \in A$ e $x\notin \left( B\cap C \right) \Rightarrow x\in \left[ A-\left( B\cap C \right)  \right]$.
Com isso,   $\left[ \left( A-B \right) \cup \left( A-C \right)  \right] \subset \left[ A-\left( B\cap C \right)  \right] $.

Portanto, se $A-\left( B\cap C \right) \subset \left( A-B \right) \cup \left( A-C \right)$ e
$\left( A-B \right) \cup \left( A-C \right) \subset A-\left( B\cap C \right)$, temos que
$\left[ A-\left( B\cap C \right)  \right] =\left( A-B \right) \cup \left( A-C \right)$. $\blacksquare $

Referências

USP. Augustus De Morgan. Disponível em: http://ecalculo.if.usp.br/historia/morgan.htm, acesso em 17 jul. 2014.
Wikipédia. Augustus De Morgan. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Augustus_De _Morgan, acesso em 17 jul. 2014.
__________. Teoremas de De Morgan. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/ Teoremas_de_De_Morgan, acesso em 17 jul. 2014.

Charles Bastos

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