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Confira 3 aplicações dos números complexos por Sebá

Uso dos números complexos para resolver algumas situações-problemas - um artigo de Sebá
Este artigo foi questionado algumas vezes e se encontra à espera do autor para revisão até 31/12/2016. Após esta data, caso ele não seja revisto, o arquivaremos.

Nosso blog apresenta o segundo artigo do professor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). E ele foi reproduzido tal como construiu Sebá (com poucas adaptações). Num todo as propostas, sugestões e argumentos aqui apresentados são de responsabilidade do autor, que propôs-me o artigo e aprovou a publicação como aparece a seguir.

Aplicações dos números complexos

Números Complexos e Aplicação


Tal trabalho objetiva mostrar que os números complexos, como muitos imaginam, não são aplicados apenas em engenharia elétrica, mas sim, em problemas do Ensino Médio, tal como: encontrar os lados, em números inteiros, de um triângulo retângulo, dada a medida da hipotenusa, que é o que veremos a seguir.

José era filho de um agricultor e frequentava a escola do Ensino Médio. Certo dia o professor passou uma tarefa para casa sobre números complexos. Assim que José chega em casa, sua mãe pergunta: - Qual o dever de casa, meu filho? José responde: - Uma lista de exercícios sobre números complexos. O pai de José ao ouvir falar em números complexos, pergunta ao filho: - E para que serve meu filho, na vida real, números complexos? O filho responde: - Eu fiz a mesma pergunta ao professor, e ele me respondeu que a gente só veria a aplicação dos números complexos, caso a gente no futuro fizesse um curso de graduação em engenharia elétrica. - É por isso, meu filho, que na época que estudei o Ensino Médio (antigo científico), nunca tive o menor interesse em aprender esse tal de números complexos. - Por que papai? - Ora, porque durante o período que frequentei a escola do Ensino Médio, em momento algum tive a oportunidade de ver, em sala de aula, uma só aplicação da matemática "ensinada" numa situação prática do dia a dia.

Certo dia o pai de José e encontra com um professor por nome Sebá e pergunta-lhe: - Professor, sou agricultor e meu filho estuda o Ensino Médio; o professor dele passou uma lista de exercícios sobre números complexos e disse que os números complexos só têm aplicação em curso de graduação de engenharia elétrica, isso é verdade? Respondeu o professor Sebá: - Não! Vejamos alguns exemplos.

Aplicações dos números complexos


1. Suponha que você tenha um fio de arame com 85 metros de comprimento e quer dividi-lo em duas partes, cada parte um número inteiro, e com cada parte fazer um quadrado, pergunta-se: qual deve ser o tamanho de cada parte?

Aplicações dos números complexos

Resolução:
$85={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }$
$85=5\cdot 17=({ 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 })\cdot ({ 4 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 })$
Aplicando números complexos, obtém-se:
$(2+i)\cdot (4+i)=-7+6i$. Logo, $x=7$ e $y=6$.
Portanto: $85={x}^{2}+{y}^{2}={7}^{2}+{6}^{2}$

Resposta. Uma parte com $36m$ e a outra com $49m$, ou seja, um quadrado de lado $6m$ e outro de lado $7m$.
Aplicações dos números complexos Aplicações dos números complexos

Mas existe algum outro modo de cortar o arame, professor?
Vejamos:
Trocando o sinal de $2 + i$ ou de $4+i$. Troquemos o sinal de $2 + i$:
$(2-i)\cdot(4+i)=9-2i$
$85={ 9 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }$

Resposta. Uma parte com $4m$ e a outra com $81m$, ou seja, um quadrado de lado $2m$ e outro, de lado $9m$.

Aplicações dos números complexos 

2. Suponha que você delimitou um terreno retangular com perímetro igual a 226 metros e notou que a diagonal media 85 metros, pergunta-se: quais as medidas do retângulo em números inteiros?
Resolução:
Aplicações dos números complexos

Como o retângulo é composto por dois triângulos retângulos iguais, logo, basta achar as medidas dos lados de um deles. Para achar as medidas dos lados de um triângulo retângulo tendo o valor da hipotenusa, basta usar as fórmulas de Euclides, as quais são:
$a={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }$ (um dos catetos)
$b=2xy$ (o outro cateto)
$c={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }$ (hipotenusa)
$x>y$

Como $85={ 9 }^{ 2 }-{ 2 }^{ 2 }$, temos que
$a={ 9 }^{ 2 }-{ 2 }^{ 2 }=77$
$b=2\cdot9\cdot2=36$
$c={ 9 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }=85$

As medidas dos lados do triângulo retângulo são: $(a, b, c) = (77, 36, 85)$

Como a diagonal de um retângulo é comum a dois triângulos retângulos iguais, logo, unindo os dois triângulos retângulos pelas duas hipotenusas, obtém-se um retângulo com as medidas:
lado menor: $36m$, lado maior: $77m$ e diagonal: $85m$.
Perímetro do retângulo: $2\cdot36+2\cdot77=226m$

- O senhor sabe que é possível, usando números complexos, delimitar outro terreno retangular com a diagonal medindo $85m$ e perímetro menor que $226m$?
- Duvido! Só acredito vendo.

- Vejamos:
Como $85$ pode ser escrito de outra maneira: $85 ={ 7 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 }$, então:
$a={ 7 }^{ 2 }-{ 6 }^{ 2 }=13$
$b=2\cdot7\cdot6=84$
$c={ 7 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 }=85$

As medidas dos lados do triângulo retângulo são: $(a, b, c) = (13, 84, 85)$

Como a diagonal de um retângulo é comum a dois triângulos retângulos iguais, logo, unindo os dois triângulos retângulos pelas hipotenusas, obtém-se um retângulo com as seguintes medidas:
lado menor: $13m$, lado maior: $84m$ e diagonal: $85m$.
Perímetro do novo retângulo: $2\cdot13+2\cdot84=194m$
Usando números complexos, foram gastos $32m$ a menos para delimitar um terreno com mesma diagonal (claro que a área deste terreno é bem menor).

3. Com 25 tijolos faz-se um quadrado com cada lado 5 tijolos; se o quadrado de lado 5 for dividido em dois quadrados menores, qual a medida do lado de cada um?

Aplicações dos números complexos

Resolução:
$25=5\cdot5=({ 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 })\cdot({ 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 })=(1+2i)\cdot(1+2i)=-3+4i$
$25={ 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }$

Resposta. Um quadrado com lado 3 tijolos e outro com lado 4 tijolos.
Aplicações dos números complexos

Trocando o sinal de $1+2i$:
$(1-2i)\cdot(1+2i)=5+0i$
$25={ 0 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 }$

Matematicamente, $25={ 0 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 }$ é uma igualdade verdadeira, mas não satisfaz ao problema proposto.

Conclusão


Para que ensinar triângulos retângulos, ternos pitagóricos e números complexos somente pelo fato de esses assuntos fazerem parte do currículo do Ministério da Educação? Para mim é uma coisa que isolada, não significa absolutamente nada. Pior: atrapalha a carreira de muitos jovens.

Como podemos esperar algum resultado de ensino da matemática do Ensino Fundamental e Médio, se as ementas não mencionam aplicações? Ou será que o que consta nas ementas é apenas para ser cobrado nas provas?

Como seria estimulante, para todos os alunos, se o professor mostrasse o quanto é poderoso e fundamental aqui que estão aprendendo!

Diante do exposto, pode-se afirmar que:
  • a aversão que o aluno tem á matemática, decorre da distância que o Ensino Fundamental e Médio guarda da realidade em que vive;
  • já que o aluno não consegue fazer a conexão entre o que aprende e suas necessidade do dia a dia, daí vem o desinteresse e, em consequência, a aversão à matemática;
  • toda a matemática do Ensino Fundamental e Médio é importante para a vida do aluno, mas da forma como é "ensinada": Não serve para nada.

Autor


Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) é professor titular (por concurso) aposentado da UFCG-PB - Universidade Federal de Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br

Charles Bastos

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10 comentários:

  1. Na aplicação 1, o lado do quadrado não pode medir 7m e 6m respectivamente já que 85=x²+y².

    x² é o comprimento do fio e não a área do quadrado. De mesmo modo com y².

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    1. $x^2$ é o comprimento do contorno de um dos dois quadrados. Este contorno é, no sentido do problema, uma das partes do arame. A outra parte do arame é $y^2$, que fará o contorno de outro quadrado.

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  2. Se $x^2$ é o perímetro de um dos dois quadrados, então $\frac{x^2}{4}$ é o comprimento do lado do quadrado de perímetro $x^2$.
    E $4⋅6+4⋅7\neq 85$, ou seja, ainda sobra $33m$ de arame.

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    1. Olá Lucas, creio que o seu questionamento se deve ao fato de que a igualdade inicial $85 = x^2 + y^2$ não é verdadeira, já que tendo $85$ como o comprimento do arame, a soma de dois perímetros de quadrados deveria ser $85 = 4 \cdot x + 4 \cdot y$.
      Creio ter compreendido o seu questionamento deste modo. E percebi também o questionamento do Flávio. Vou repassar estas questões ao professor Sebá, autor do texto e aguardar retorno dele.

      Obrigado!

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  3. Quais situações do nosso dia a dia que se aplica números complexos?

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    1. Olá Daiana!
      Vou repassar seu questionamento ao autor do texto. Espero que ele possa lhe responder.

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  4. Pelo que percebi, o erro na primeira aplicação foi em usar o fio de arame (um objeto que ocupa apenas um dimensão). Se em vez disso, fosse proposto um fileira 85 cerâmicas, de 1m^2 de área, e tivéssemos que organizá-las em dois quadrados, a solução apresentada daria certo tanto para encontrar o lado de cada quadrado, quanto suas respectivas áreas.

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    1. Olá Áureo,
      O professor que escreveu o artigo não retornou a respeito. Seria bom que ele pudesse interagir com vocês sobre os questionamentos e proposições apresentadas. Infelizmente, apesar de tê-lo encaminhado os questionamentos, nada foi retornado.

      Obrigado por sua participação! Até breve.

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  5. "As medidas dos lados do triângulo retângulo são: (a,b,c)=(13,84,85)" Escolher situações que não podem ser modeladas utilizando números complexos e encontrar respostas absurdas como essa, que contraria a desigualdade triangular não ajuda em nada.

    Recomendo ao autor que pesquise sobre a aplicação de números complexos na física para o cálculo de corrente elétrica em circuitos.

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    1. Olá Júnior!

      Infelizmente, o autor da postagem não retornou a respeito dos comentários que recebeu até o momento.
      Vou procurar contato novamente, caso ele ignore e não responda aos questionário já deixados por aqui, vou desativar esta postagem.

      Obrigado por sua participação.

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