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Confira uma introdução sobre trigonometria

Confira um pouco de trigonometria: Moivre, ciclo trigonométrico, planilhas e softwares e leituras recomendadas.
Quando organizamos o tema para o Tópicos da Matemática da UBM (União dos Blogs de Matemática) deste mês, percebi que não havia me dedicado a organizar um post exclusivo sobre Trigonometria aqui no Xarlleslb Blog, resolvi por criar um post introdução sobre o conteúdo; mas antes surgiram duas novas planilhas confeccionadas no Excel, que estão citadas mais abaixo e que já foram publicadas.

Confira uma introdução sobre trigonometria

A maior parte deste conteúdo foi retirada de livros de nível fundamental e médio. Outros conteúdos são percepções de blogs e sites que relacionam a temática, além de algumas construções organizadas para aulas.

Moivre (1667 - 1754)

Abraham de Moivre nasceu na França. Por motivo de perseguição religiosa, acabou exilando-se na Inglaterra, onde dava aulas para se sustentar enquanto desenvolvia pesquisas em Matemática.
Muito interessado na teoria das probabilidades, Moivre apresentou na obra Doutrina das Probabilidades, de 1718, mais de 50 problemas envolvendo jogos. Usou dados numerados, urnas tentando desenvolver processos gerais e uma notação específica para a teoria das probabilidades.

Em outra obra famosa Miscelânea Analítica, de 1730, Moivre desenvolveu um processo analítico para a Trigonometria.

Destacou-se nesse trabalho a fórmula que relaciona as funções trigonométricas com os números complexos.

${ \left( \cos { \theta  } +i\sin { \theta  }  \right)  }^{ n }=\cos { \left( n\theta  \right)  } +i\sin { \left( n\theta  \right)  } $


Trigonometria

A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: medida dos triângulos.
Dizemos então que a Trigonometria é a parte da Matemática cujo objetivo é o cálculo das medidas dos elementos dos triângulos (lados e ângulos).

Inicialmente considerada como uma extensão da Geometria, a Trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de navegação e de agrimensura.

Aliás, foram os astrônomos que estabeleceram os fundamentos da Trigonometria, pois sabe-se que o famoso astrônomo grego Hiparco (190 a.C. - 125 a.C.) foi quem empregou pela primeira vez relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Hiparco, considerado o pai da Astronomia, é também considerado o iniciador da Trigonometria.

Cuidadoso, Hiparco desenvolveu importantes trabalhos no observatório de Rodes. Creditam-se a ele feitos como a determinação do mês lunar médio, um cálculo da inclinação do plano da órbita terrestre, e a organização de um catálogo estelar. A Trigonometria na época era baseada na relação entre um arco arbitrário e sua corda. Os estudos de Hiparco sobre o cálculo do comprimento das cordas deram origem à primeira tabela trigonométrica. Foi ele que introduziu na Grécia a divisão do círculo em 360º e propôs a localização de pontos sobre a superfície da Terra por meio de latitudes e longitudes.

No século VIII, importantes trabalhos hindus foram traduzidos para o árabe, contribuindo para as notáveis descobertas feitas pelos matemáticos árabes sobre a Trigonometria.

No século XV, foi construída a primeira tábua trigonométrica por um matemático alemão, nascido na Baviera, chamado Purback.

Porém o primeiro trabalho sistemático sobre a Trigonometria foi o Tratado dos Triângulos, escrito pelo matemático Alemão Johann Müller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se que Regiomontanus foi discípulo de Purback.

Atualmente, a Trigonometria não se limita apenas a estudar os triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos da Matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topografia, a Engenharia Civil etc.


Ciclo Trigonométrico ou Circunferência Trigonométrica

Uma circunferência se diz orientada quando nela fixamos um sentido positivo de percurso. Em Trigonometria, convencionou-se estabelecer como sentido positivo o sentido anti-horário. Naturalmetne, o sentido negativo é o sentido horário. A circunferência orientada de centro na origem do sistema, de raio unitário (r = 1) e cujo sentido positivo é o anti-horário, é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico.

A partir de uma postagem no Facebook, cheguei à uma publicação do blog do professor Edigley que relata sobre o Ciclo Trigonométrico criado no GeoGebra. Fiz o teste e construí um também, demorou um pouco mas é um ótimo instrumento para uso nas aulas sobre trigonometria. Seguem dois vídeos, o primeiro é uma apresentação animada do ciclo trigonométrico, o segundo é um tutorial que permite acompanhar e criar o seu próprio ciclo trigonométrico.


Planilhas e Softwares

Por conta da organização deste post, construí duas planilhas a respeito de Relações Métricas e Funções e Transformações Trigonométricas. Seguem os links para as postagens:


Um exemplo de planilha com o Ciclo trigonométrico se encontra no link do sítio Só Matemática para download:

Um software testado e que também pode contribuir consta no BIOE (Banco Internacional de Objetos Educacionais):

Recomendações de Leituras

As recomendações a seguir, são parte dos blogs que acompanho e tenho o prazer em divulgar. Tomei a liberdade de divulgar alguns de seus artigos, sem prévia consulta. Caso os autores se manifestem contra, poderei retirar as indicações.

Quando pesquisei artigos relacionados à trigonometria nestes blogs, pensa bem na surpresa, vários artigos publicados. Vale a pena verificar cada um deles. Cito alguns abaixo, mas recomendo que seja feita a pesquisa da temática nos blogs e que o leitor possa verificar outros posts.

[1] Fatos Matemáticos

[2] O Baricentro da Mente

[3] Prof. Edigley Alexandre

[4] COSTA, Daniel dos Santos. Astronomia e Trigonometria: As Cordas de Ptolomeu. [artigo], Disponível em: http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22008/DanieldosSantosCosta.pdf, acesso em 16 fev. 2014.

[5] ROCHA, Avani Maria Calmon. Uso do software Winplot para o estudo de Trigonometria. [artigo], Disponível em: http://www.revistas.ufg.br/index.php/sv/article/view/16292, acesso em 16 fev. 2014.


Referências

[1] CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da Matemática. 9º ano. Editora FTD. São Paulo, 2009.

[2] GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. Editora FTD. São Paulo, 1994.

[3] Revisões de Trigonometria. Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfKmwAC /trigonometria, [João Miguel Nobre Batista] acesso em 16 fev. 2014.

[4] Trigonometria. Disponível em http://www.ebah.com.br/content/ABAAABfb0AA/apostila-trigonometria, [Filipe Rodrigues de S. Moreira] acesso em 16 fev. 2014.

Charles Bastos

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6 comentários:

  1. Gostei bastante desta postagem uma visão panorâmica da introdução!!!
    Parabéns !!!
    Professor Charles Bastos

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  2. Olá, Charles!

    Só hoje vi o link compartilhado do vídeo do arquivo do GeoGebra.

    Obrigado por isso.

    Hoje indiquei o vídeo e o arquivo para meus alunos quando dava aula sobre o Ciclo Trigonométrico. Fica muito mais fácil com animações.

    Um abraço!

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    Respostas
    1. Olá, Edigley!

      Eu lhe agradeço pela atenção e por consentir partilhar seus posts, quando escrevo os meus.

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