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Applet no Geogebra que relaciona o perímetro e a área de um polígono regular

Descrição da construção do Applet no Geogebra e de como personaliza-lo para diferentes polígonos regulares.
A ideia inicial deste Applet foi observada no grupo "O Geogebra" (no Facebook) e modificada ao ponto que é apresentada a seguir. De início, procurei estruturar uma fórmula para o cálculo do perímetro e da área de qualquer polígono regular, mas não consegui.

Para o perímetro, tal característica é fácil de ser resolvida, mas infelizmente para a área não consegui escrever uma fórmula que expressasse a área de qualquer polígono apenas em função do número de lados e do raio da circunferência que circunscreve tal polígono.

A expressão encontrada apresenta o resultado correto para pontos específicos, mas não consegue apresentar o valor correto da área para os valores em todo intervalo $(0, L)$ em que $L$ é a medida do lado do polígono, creio que isso se deva à expressão depender de uma função trigonométrica. Primeiro procurei expressar a área de qualquer polígono regular através da relação entre o seu semiperímetro e apótema, mas o apótema é diferente para cada polígono e não consegui expressar o apótema apenas em função do lado ($S_{pol} = p \cdot a$, com $p$ o semiperímetro e $a$ o apótema). E assim só consegui expressar a construção apresentando a área para cada um dos diferentes polígonos, ou seja, precisei organizar uma construção para cada diferente polígono ou alterar a expressão que representa a área graficamente para cada diferente polígono escolhido.


A construção do Applet no Geogebra


Applet no Geogebra que relaciona o perímetro e a área de um polígono regular

A construção no Geogebra indicada a seguir, resulta justamente no que é mostrado na figura acima, para um hexágono regular, variando a medida de seus lados e apresentando curvas com valores das variações de área e perímetro em uma outra janela de visualização.

As etapas da construção podem ser verificadas através do comando "Protocolo de Construção" (clicando em "Exibir" e em "Protocolo de Construção" ou o atalho: Ctrl+Shift+L). A construção foi organizada de acordo com os seguintes passos, que aqui estão um pouco diferentes do que se apresentação na janela exibida no protocolo de construção:

  1. Exiba duas janelas de visualização;
  2. Crie um controle deslizante de nome L que esteja no intervalo 1 a 10;
  3. Crie um texto para indicar o que representa o controle deslizante;
  4. Marque um ponto A qualquer;
  5. Marque o ponto B com o comando Ponto[Círculo[A, L]];
  6. Ligue A a B formando um segmento;
  7. Crie um polígono regular a partir destes dois pontos, e com 6 lados;
  8. Na segunda janela de visualização crie a função: p(x) = Se[0 <= x <= L,6x], isso irá interpolar os valores de 0 a r para x, esboçando um gráfico para o perímetro do polígono;
  9. Crie o ponto P: (L, p(L)), este ponto estará no limite do segmento de reta que representa p(x) terá como coordenadas o lado e o perímetro do polígono;
  10. Crie a função: S(x) = Se[0 = x = L,1.5 (3^(1 / 2)) x²], que representa a função área do polígono;
  11. Crie o ponto G: (L, S(L)), que estará no limite do segmento de reta que representa S(x) e terá como coordenadas o lado e a área do polígono;
  12. Crie o ponto H, interseção das duas curvas. Este ponto representará a medida do lado e os valores de P(x) e S(x) iguais;
  13. Insira dois textos, para imprimir na tela o perímetro e a área;
    • "Área = " + (LaTeX[1.5 (3^(1 / 2)) L²]) + " cm^2"
    • "Perímetro = " + (LaTeX[6L]) + " cm"
  14. Anime o controle deslizante.

Observe que as expressões para área e perímetro têm uma pequena alteração quando representa o gráfico de função e quando irá imprimir o valor na tela; para o primeiro caso usamos x variando de $0$ a $L$ para que todos os pontos no domínio $[0, L]$ possam ser impressos nos gráficos e neste último usamos o próprio $L$ já que o desejado é exatamente o valor da área e do perímetro quando o lado vale $L$.


Relações de áreas para outros polígonos regulares


Como não consegui implementar no Geogebra uma linha de comandos que possa expressar graficamente a área de qualquer polígono regular, por conta da impossibilidade de deixar as áreas em função apenas do lado do polígono, recomendo que ao alterar a construção para um outro polígono que não o desta construção, que se altere também a fórmula para que está represente o polígono desejado. Como os exemplos que seguem (observe que $x$ deve variar sempre no intervalo $[0, L]$) e devem ser colocados no lugar da expressão em vermelho na linha de códigos relativa à área no item 10 da descrição sobre a construção:
  • Triângulo equilátero: $S(x) = \cfrac{x \sqrt{3}}{2}$;
  • Quadrado: $S(x) = x^2$;
  • Octógono: $S(x)=2x^2(1+ \sqrt{2})$;

O intervalo de variação de $x$ continuará o mesmo, podendo fazer a alteração da medida do lado através de uma edição direta no controle deslizante r (no caso da construção, por ser um hexágono, está indicado como sendo o raio da circunferência circunscrita ao polígono, mas ao generalizar, cabe mais expressar como sendo a medida do lado do polígono regular).


Download


Os arquivos estão disponíveis para download, a partir dos dois links a seguir. Eles foram construídos no Geogebra 5.082.0-3D (atualizado: 30/05/2015).

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Charles Bastos

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3 comentários:

  1. Sejam $a$ o apótema, $L$ o lado, $R$ o raio da circunferência circunscrita e $p$ o semiperímetro. Pelo Teorema de Pitágoras, $a^2+{(L/2)^2}=R^2$ e, portanto, a área $A$ do polígono regular "apenas em função do número de lados e do raio da circunferência que circunscreve tal polígono" é
    $$S_{pol}=p\cdot a=\frac{n\cdot L}{2}\sqrt{\frac{4R^2-L^2}{4}}=\frac{nL\sqrt{4R^2-L^2}}{4}.$$
    Eu baixei seu material e testei esta fórmula. Aparentemente funciona bem (coincide com os seus valores). Eu usei o comando (6distânciaED (4r² - distânciaED²)^(1 / 2)) / 4, substituindo n por 6 porque seu polígono é um hexágono, mas inserindo um controle deslizante n para o número de lados, basta utilizar a fórmula (n distânciaED (4r² - distânciaED²)^(1 / 2)) / 4). Assim, ao que tudo indica, dá para elaborar uma construção conforme você intencionava (com o número de lados variável). O que acha?

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    1. Olá "Diário de Exercícios"!

      Legal, vou fazer o teste, esta fórmula apresenta resultado correto para todo o intervalo? Ou apenas para o valor de $L$ estipulado?

      O modo que eu pretendia organizar, era para que $S_{pol}$ ficasse em função apenas de $L$ e para o caso que você indica, ela ficará em função de um novo objeto a ser criado que é a circunferência circunscrita.

      Claro que se está fórmula for válida para quaisquer valores do intervalo $(0, L)$ e não apenas para o valor de $L$ escolhido, o problema fica quase resolvido. Restando implementar também um controle deslizante para que possamos também alterar mais facilmente entre os polígonos com $n = {3, 4, 5, 6, ...}$ lados.

      Vou verificar! Obrigado pela contribuição!

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    2. Olá. Postei no site do GeoGebra a construção com o controle deslizante que falta. Quando fiz esta construção, meu objetivo era trabalhar com cálculo integral, mas acho que ela pode se aproveitada por você. Dê uma olhada (aqui). Talvez te ajude a implementar o que tinha em mente. (Obs: revendo o protocolo de construção e fazendo umas figuras dá pra entender como funciona o controle deslizante para o número de lados.)

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