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Applet no Geogebra que relaciona o perímetro e a área de um polígono regular

Descrição da construção do Applet no Geogebra e de como personaliza-lo para diferentes polígonos regulares.
A ideia inicial deste Applet foi observada no grupo "O Geogebra" (no Facebook) e modificada ao ponto que é apresentada a seguir. De início, procurei estruturar uma fórmula para o cálculo do perímetro e da área de qualquer polígono regular, mas não consegui.

Para o perímetro, tal característica é fácil de ser resolvida, mas infelizmente para a área não consegui escrever uma fórmula que expressasse a área de qualquer polígono apenas em função do número de lados e do raio da circunferência que circunscreve tal polígono.

A expressão encontrada apresenta o resultado correto para pontos específicos, mas não consegue apresentar o valor correto da área para os valores em todo intervalo $(0, L)$ em que $L$ é a medida do lado do polígono, creio que isso se deva à expressão depender de uma função trigonométrica. Primeiro procurei expressar a área de qualquer polígono regular através da relação entre o seu semiperímetro e apótema, mas o apótema é diferente para cada polígono e não consegui expressar o apótema apenas em função do lado ($S_{pol} = p \cdot a$, com $p$ o semiperímetro e $a$ o apótema). E assim só consegui expressar a construção apresentando a área para cada um dos diferentes polígonos, ou seja, precisei organizar uma construção para cada diferente polígono ou alterar a expressão que representa a área graficamente para cada diferente polígono escolhido.


A construção do Applet no Geogebra


Applet no Geogebra que relaciona o perímetro e a área de um polígono regular

A construção no Geogebra indicada a seguir, resulta justamente no que é mostrado na figura acima, para um hexágono regular, variando a medida de seus lados e apresentando curvas com valores das variações de área e perímetro em uma outra janela de visualização.

As etapas da construção podem ser verificadas através do comando "Protocolo de Construção" (clicando em "Exibir" e em "Protocolo de Construção" ou o atalho: Ctrl+Shift+L). A construção foi organizada de acordo com os seguintes passos, que aqui estão um pouco diferentes do que se apresentação na janela exibida no protocolo de construção:

  1. Exiba duas janelas de visualização;
  2. Crie um controle deslizante de nome L que esteja no intervalo 1 a 10;
  3. Crie um texto para indicar o que representa o controle deslizante;
  4. Marque um ponto A qualquer;
  5. Marque o ponto B com o comando Ponto[Círculo[A, L]];
  6. Ligue A a B formando um segmento;
  7. Crie um polígono regular a partir destes dois pontos, e com 6 lados;
  8. Na segunda janela de visualização crie a função: p(x) = Se[0 <= x <= L,6x], isso irá interpolar os valores de 0 a r para x, esboçando um gráfico para o perímetro do polígono;
  9. Crie o ponto P: (L, p(L)), este ponto estará no limite do segmento de reta que representa p(x) terá como coordenadas o lado e o perímetro do polígono;
  10. Crie a função: S(x) = Se[0 = x = L,1.5 (3^(1 / 2)) x²], que representa a função área do polígono;
  11. Crie o ponto G: (L, S(L)), que estará no limite do segmento de reta que representa S(x) e terá como coordenadas o lado e a área do polígono;
  12. Crie o ponto H, interseção das duas curvas. Este ponto representará a medida do lado e os valores de P(x) e S(x) iguais;
  13. Insira dois textos, para imprimir na tela o perímetro e a área;
    • "Área = " + (LaTeX[1.5 (3^(1 / 2)) L²]) + " cm^2"
    • "Perímetro = " + (LaTeX[6L]) + " cm"
  14. Anime o controle deslizante.

Observe que as expressões para área e perímetro têm uma pequena alteração quando representa o gráfico de função e quando irá imprimir o valor na tela; para o primeiro caso usamos x variando de $0$ a $L$ para que todos os pontos no domínio $[0, L]$ possam ser impressos nos gráficos e neste último usamos o próprio $L$ já que o desejado é exatamente o valor da área e do perímetro quando o lado vale $L$.


Relações de áreas para outros polígonos regulares


Como não consegui implementar no Geogebra uma linha de comandos que possa expressar graficamente a área de qualquer polígono regular, por conta da impossibilidade de deixar as áreas em função apenas do lado do polígono, recomendo que ao alterar a construção para um outro polígono que não o desta construção, que se altere também a fórmula para que está represente o polígono desejado. Como os exemplos que seguem (observe que $x$ deve variar sempre no intervalo $[0, L]$) e devem ser colocados no lugar da expressão em vermelho na linha de códigos relativa à área no item 10 da descrição sobre a construção:
  • Triângulo equilátero: $S(x) = \cfrac{x \sqrt{3}}{2}$;
  • Quadrado: $S(x) = x^2$;
  • Octógono: $S(x)=2x^2(1+ \sqrt{2})$;

O intervalo de variação de $x$ continuará o mesmo, podendo fazer a alteração da medida do lado através de uma edição direta no controle deslizante r (no caso da construção, por ser um hexágono, está indicado como sendo o raio da circunferência circunscrita ao polígono, mas ao generalizar, cabe mais expressar como sendo a medida do lado do polígono regular).


Download


Os arquivos estão disponíveis para download, a partir dos dois links a seguir. Eles foram construídos no Geogebra 5.082.0-3D (atualizado: 30/05/2015).

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