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9 passos para solucionar corretamente um problema de Matemática

Sugestões que podem ajudar quando vamos resolver algum problema de Matemática.
A Matemática se presta aos problemas; os problemas oportunizam a construção de novos conhecimentos matemáticos. Resolver problemas permite muito mais que repetições, desenvolvimentos pré-estabelecidos, montar caminhos já moldados; é possível criar novas ferramentas, estabelecer novas formulações e leis, raciocinar sobre uma situação, explorar aplicações.

Os problemas podem oportunizar ao estudante, mais que uma atividade mecânica, ele possibilita o desenvolvimento de estratégias próprias, pensar sobre uma situação sem se prender, testar possibilidades, propor e analisar previsões. Num exercício, já se sabe o procedimento a ser tomado, não é necessário interpretar, propor algo, basta seguir a 'regra'. No problema, é preciso descobrir, realizar tentativas, inventar. 

A Matemática e seus problemas... Como é bom tê-los! Muito do que há na Matemática surgiu da busca por solucionar problemas cotidianos e muito dela surgiu a partir da proposição de problemas. Muitos problemas que pareciam não terem aplicação, hoje são a base de muitos avanços que a humanidade possui.

Este artigo está relacionado com o assunto de outro artigo que elaborei para o blog Vivendo Entre Símbolos, que trata de dicas que podem contribuir para a aprendizagem em Matemática.


9 sugestões para solucionar corretamente um problema


Para entender como estudar (Aprender a Aprender!) não se tem uma regra cabível para todos. Cada um aprende a seu modo, mas no geral, algumas sugestões são sempre válidas. Mais a frente, você confere 9 estratégias para a resolução de problemas, descritas por Tao [p.2-11] e que procurei descrever a seguir.

Você irá perceber, que costuma realizar alguns destes passos, por vezes, sem se dar conta da importância deles para se chegar a uma solução.

9 sugestões para solucionar corretamente um problema de Matemática

1) Perceber o tipo de problema

São três, os principais tipos de problemas:
  • questões do tipo mostre que.. ou calcule..., em que se deve provar que uma certa afirmação é verdadeira, ou manipular uma expressão para obter um certo resultado;
  • questões do tipo encontre... ou encontre todos..., em que se pede para determinar algum objeto (ou todos os objetos) satisfazendo certas condições;
  • questões do tipo existe ou não..., em que se tem que provar uma afirmação ou fornecer um contraexemplo (e portanto cai num dos dois tipos anteriores).

Ao visualizar um problema, procure realizar leitura detalhada, observando quais características ele fornece. A partir destas características você poderá ser capaz de perceber que o problema pode ter uma resolução com abordagem algébrica ou geométrica.

2) Entender os dados

Após uma primeira leitura, procure destacar os dados que são fornecidos no problema. Estes dados, costumam ser objetos com determinadas características. Saber como interagem estes objetos com suas características é necessário para entender os dados. Isso é importante, pois assim, podemos focar atenção nas técnicas e notações adequadas para o problema.

3) Entender o objetivo do problema

O que é que pretende o problema? Realizar algum cálculo, demonstrar alguma afirmação, encontrar algum objeto, determinar a existência ou não de um objeto. Entender o objetivo do problema, colabora para escolher e priorizar uma notação, os conceitos, definições e demais características necessárias à solução.

4) Escolher uma boa notação

Tendo passado pelos primeiros passos, agora é hora de escolher como representar os dados do problema e sua solução; isso deve ser feito de forma eficiente e o mais simples possível, de modo a minimizar processo e utilizar aquilo que realmente é necessário.

5) Escrever o que se sabe, usando a notação escolhida

Escolhida a notação é momento de passar tudo para o papel. Apesar de conseguirmos raciocinar, elaborar estratégias e chegar em algumas soluções sem qualquer registro, a escrita dos dados do problema, usando uma notação possibilita:
  • relembrar mais facilmente o problema;
  • fixar o olhar quando empacamos na resolução;
  • desenvolver novas ideias e conexões.

É preciso cuidar para não escrever em excesso; escrever coisas desnecessárias, ou detalhar algo quando aquilo não irá contribuir com a resolução.

6) Modificar ligeiramente o problema

Manipular o problema, pode permitir que ele seja mais acessível e assim possibilitar resolvê-lo. Quando não temos sequer uma noção de como começar a desenvolver o problema este passo é recomendado para que se possa visualizar uma saída para o problema original. Algumas maneiras de criar variações são:
  • Considerar casos especiais do problema;
  • Resolver uma versão simplificada do problema;
  • Elaborar uma conjectura que permita chegar em uma solução;
  • Deduzir consequências;
  • Reformular o problema (demonstrar por absurdo, fazer substituições, tomar o contrapositivo);
  • Estudar soluções de problemas parecidos;
  • Generalizar o problema.

7) Modificar profundamente o problema

Caso necessário, chegamos ao passo mais extremos de modificar o problema:
  • Omitir dados;
  • Ampliar o problema;
  • Trocar dados com objetivo;

8) Estabelecer resultados para o problema

Os dados dos problemas lá estão para que possamos usá-los. Podemos estipular alguns valores para certos dados e então manipular, procurando chegar em um padrão ou obter novas relações e características não antes percebidas. Ou ainda, colocar um dado em função do outro e assim manipular estes dados por meio de relações conhecidas.

9) Simplificar, explorar os dados, atingir metas parciais

Tendo compreendido o problema, organizado os dados por meio de uma notação, estipulado conceitos, equações, fórmulas, relações possíveis e cabíveis é momento de alcançar algumas metas. E assim procedermos até chegar em uma solução correta para o problema.

Extra) Validar a solução

Este passo é extra, pois supõe-se ter encontrado a solução correta para o problema, resta agora testar a solução para que ela seja confirmada. Seguir estes passos não é garantia de encontrar a solução correta, ou de encontrar uma solução, ou que a solução encontrada seja única; mas é um procedimento válido para estudar Matemática.


Não aprendemos matemática de um passo para o outro; não são as fórmulas que ditam as soluções. Toda solução que satisfaz um problema é digna de observação. Solucionar problemas oportuniza uma satisfação imensa, prazer e alívio (sensação de missão cumprida).

Oliveira e Fernández [p.15], ao indicarem "algumas dicas para resolver problemas", destacam entre outras regras a possibilidade de "mudar a representação do problema" e de se "usar a imaginação pesquisando caminhos alternativos".

Percebe-se a importância das representações na busca de apresentar uma solução correta para um problema. A interpretação do problema passa:
  • pelo entendimento do tipo, dos dados e do objetivo e
  • pela reorganização do que se sabe do problema a partir da escolha de uma notação; são processos que envolvem o entendimento e representação da linguagem matemática (sinais, símbolos e significados).

Referências


OLIVEIRA, Krerley I. M.; FERNÁNDEZ, Adán J. C. Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções, Coleção Olimpíadas de Matemática, SBM, 2ª Edição, Rio de Janeiro, (2010), pp.295.

TAO, Terence. Como resolver problemas matemáticos - Uma perspectiva pessoal. Tradução de Paulo Ventura. Rio de Janeiro, SBM, (2013), pp.163.


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Charles Bastos

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