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Cuidado ao fazer generalizações, principalmente na Matemática!

Considerações a respeito da generalização em conteúdos matemáticos.
Generalização


Generalizações na matemática... Muito cuidado!

Generalização é uma dedução baseada na reunião de propriedade particulares que seu autor entende serem correlatas, que por inferência dá como resultado a atribuição dessas mesmas propriedades a objetos que esse mesmo autor entende serem similares.

A generalização em matemática é um modo de raciocinar, mas não se tem como válido, a menos que se possa provar; ou seja, assume-se uma verdade que ainda necessita de prova para ser válida. Assume-se determinada característica como própria do objeto, isso para utilizar-se de outras características, procurando a validade desta primeira.

Mais simples: Generalização é a ação de considerar para todos os casos uma propriedade observada em alguns casos particulares.

O importante é compreender, que não é errado assumir generalizações, desde que elas sejam comprovadas. O erro está em assumi-las como verdadeiras, sem uma base verificável. Vejamos dois exemplos sobre generalização para números primos e um exemplo sobre números pares.

Generalização 1)

$n^2 + n + 41$ é um número primo!

Considere a expressão algébrica $n^2 + n + 41$, com $n$ representando um número natural.
Para $n = 0 \Rightarrow 0^2 + 0 + 41 = 41$,
Para $n = 1 \Rightarrow 1^2 + 1 + 41 = 43$,
Para $n = 2 \Rightarrow 2^2 + 2 + 41 = 47$,
Para $n = 3 \Rightarrow 3^2 + 3 + 41 = 53$,
Para $n = 4 \Rightarrow 4^2 + 4 + 41 = 61$,
Para $n = 5 \Rightarrow 5^2 + 5 + 41 = 71$,
Para $n = 6 \Rightarrow 6^2 + 6 + 41 = 83$,
Para $n = 7 \Rightarrow 7^2 + 7 + 41 = 97$,
$\vdots$
Para $n = 39 \Rightarrow 39^2 + 39 + 41 = 1.601$,


Observe que para $n = 1$ a $n = 39$, o número $n^2 + n + 41$ é primo. Assim muitos poderiam afirmar que, para qualquer número natural $n$, $n^2 + n + 41$ é primo.

Mas se calcularmos este número para $n = 40$ temos, $40^2 + 40 + 41 = 1.681$ e $1.681$ é múltiplo de $41$ $(\frac {1.681}{41}=41)$.

Portanto, o número $n^2 + n + 41$ não é primo, pois, por exemplo, para $n = 40$ temos como divisores ($1$, $41$ e $1681$).

Esse exemplo mostra claramente que é perigoso generalizar um resultado ou uma propriedade com base apenas em alguns casos particulares.


Generalização 2)

$f_n$, para $n = 0, 1, 2, ... $ são números primos, e é $f_n = {2^2}^n + 1$. Observe que, realmente, $f_n$ é primo para $n = 0$, $1$, $2$, $3$ e $4$:
$f_0 = {2^2}^0 + 1 = 3$,
$f_1 = {2^2}^1 + 1 = 5$,
$f_2 = {2^2}^2 + 1 = 17$,
$f_3 = {2^2}^3 + 1 = 257$,
$f_4 = {2^2}^4 + 1 = 65.537$.

Fermat conjecturou que todos os $f_n$ fossem primos, para qualquer $n$ natural. No entanto, ele se enganou, pois o matemático Leonhard Euler (1707-1783) verificou, um século mais tarde, que para $n = 5$, $f_5 = {2^2}^5 + 1 = 4.294.967.297$e que $4.294.967.297$ é divisível por $641$ $(\frac{4.294.967.297}{641}= 6.700.417)$ e assim mostrou que $f_n$ não exprime apenas números primos; e mais, não foi encontrado, até então, outro número primo para $n > 4$ em $f_n$.

Generalização 3)

A adição de dois números naturais ímpares é sempre um número par

Essa é uma generalização verdadeira. Vamos verificar?
Observe nas adições de dois números naturais ímpares a seguir:
$3 + 5 = 8$
$7 + 7 = 14$
$1 + 29 = 30$,

É fácil fazermos uma conjectura de generalização: a soma de dois números naturais ímpares é sempre um número par.

A veracidade de uma generalização só pode ser comprovada com a sua demonstração. No exemplo, tomemos para n e m números naturais quaisquer.

Observe que $p = 2n + 1$ e $q = 2m + 14$ são números ímpares, então somemos $p$ e $q$:
$p + q = (2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2(m + n + 1)$.

Verifique que $p + q$ (soma de dois números naturais ímpares) é um produto de $2$ e todo número natural produto de $2$ é par, então $p + q$ é par.

Neste caso, a generalização foi verificada e validada!

Recomendação 

Ao pesquisar a temática deste post encontrei um bom trabalho que trata de Álgebra e Generalização, vale ler.

* As notações que aqui surgem estão baseadas nos artigos originais de referência.


Referências

[1] DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Projeto Teláris. Editora Ática. 8º ano. São Paulo, 2012.
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