Neste post construímos uma planilha no Excel que encontra a solução de sistemas de equações do primeiro grau com duas incógnitas e para isso, resolvemos por expressar $x$ e $y$ (solução do sistema) por meio dos coeficientes das equações.
Acredito que seja interessante visualizar o processo; então, além de dispor algum conteúdo e a planilha a respeito do tema, indicamos os passos para encontrar $x$ e $y$ em função dos coeficientes das equações.
O procedimento para encontrar x e y
Partindo do sistema $\begin{cases} ax + by = c \\ dc + ey = f \end{cases}$ com as equações $ax + by = c$ e $dx + ey = f$, em que $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ e $f$ são números reais quaisquer, evidenciamos $x$ nas duas equações, obtendo $x = \cfrac{c - by}{a}$ e $x = \cfrac{f - ey}{d}$
Das igualdades temos:
$ \cfrac{c - by}{a}= \cfrac{f - ey}{d}$
$\cfrac{d(c - by)}{ad}= \cfrac{a(f - ey)}{ad}$
$dc - dby = af - aey$
$-dby + aey = af - dc$
$y(ae - bd)=af - cd$
$y = \cfrac{af - cd}{ae - bd}$
Agora, evidenciando $y$ nas duas equações temos, analogamente:
$y = \cfrac{c - ax}{b}$ e $y = \cfrac{f - dx}{e}$
Das igualdades:
$\cfrac{c - ax}{b}= \cfrac{f - dx}{e}$
$\cfrac{e(c - ax)}{be} = \cfrac{b(f - dx)}{be}$
$ec - eax = bf - bdx$
$-eax + bdx = bf - ec$
$x(bd - ea) = bf - ec$
$x = \cfrac{bf - ec}{bd - ea}$
Funcionalidades na Planilha
A planilha realiza as funcionalidades:
- Especifica local para os números $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ e $f$ nas equações;
- Encontra, caso exista, a solução do sistema;
- Indica se o sistema possui infinitas soluções ou nenhuma;
- Classifica o sistema em $SPD$ (sistema possível e determinado), $SPI$ (sistema possível e indeterminado) ou $SI$ (sistema impossível);
- Apresenta o plano cartesiano com as duas retas geradas das equações.
Os códigos Excel na planilha
Equações
Os espaços em amarelo indicam os locais em que se devem ser colocados os números $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ e $f$, de acordo com o sistema à esquerda (na figura). As únicas células que permitem a inserção de dados são as em amarelo.
Solução
A solução $S = \{x, y\}$ é dada a partir do procedimento indicado anteriormente. A codificação de $x$ e de $y$ na planilha é dada por:
$x$:
=SE(R6="";"";SE(O6="";"";SE(L6="";"";SE(R5="";"";SE(O5="";"";SE(L5="";"";SE(O5*L6-L5*O6=0;"#";(O5*R6-R5*O6)/(O5*L6-L5*O6))))))))
$y$:
=SE(R6="";"";SE(O6="";"";SE(L6="";"";SE(R5="";"";SE(O5="";"";SE(L5="";"";SE(L5*O6-O5*L6=0;"#";(L5*R6-R5*L6)/(L5*O6-O5*L6))))))))
Há ainda espaço reservado para indicar retorno sobre a solução do sistema:
=SE(O10="";"";SE(O13="Sistema Possível e Determinado";"Admite uma única solução!";SE(O13="Sistema Possível e Indeterminado"; "Admite infinitas soluções!"; "Não admite soluções!")))
Foram organizadas algumas condições para os casos em que o sistema admita infinitas soluções ou não admita solução real. Ocorrendo um destes dois casos, a solução $x$ e $y$ irá apresentar o símbolo #, que é interpretado na classificação do sistema e na informação sobre o número de soluções.
Classificação do Sistema
A classificação é dada por:
=SE(O10="";"";SE(O10="#";SE(L5/L6=R5/R6;"Sistema Possível e Indeterminado";"Sistema Impossível");"Sistema Possível e Determinado"))
Gráfico
São geradas duas retas para as equações num mesmo plano cartesiano. Elas servem, entre outros, para evidenciar as classificações do sistema.
Caso as duas retas se cruzem em um único ponto, significa que o sistema é POSSÍVEL e DETERMINADO, contendo uma única solução.
Caso as duas retas estejam sobrepostas, significa que o sistema é POSSÍVEL e INDETERMINADO, contendo infinitas soluções.
Caso as duas retas sejam paralelas, significa que o sistema é IMPOSSÍVEL, ou é, não existe solução real para o sistema.
Para a construção das retas, foi estipulado um intervalo em $x$, $[-10, 10]$, com tabela em três colunas: coluna $x$, coluna equação $1$ $(y_1)$ e coluna equação $2$ $(y_2)$.
Download da planilha
A planilha está disponível para download a partir dos servidores abaixo. Caso queira editar, implementar ou conferir algumas funções da planilha, a senha de desbloqueio é a sequência de 1 a 6.
- Arquivo originado em: Microsoft Office Excel 2010.
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Referência
[1] GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. Editora FTD. São Paulo, 1994.
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