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22 atividades que podem ser ensinadas explorando planilhas eletrônicas

Atividades de matemática que podem ser realizadas utilizando planilhas eletrônicas (Excel, Calc, Numbers).
Tive uma boa surpresa ao iniciar mais uma disciplina do PROFMAT. Nela estudaremos, entre outros temas, as Planilhas Eletrônicas no ensino de Matemática. Não há uma referência específica de qual software usar (Excel, Calc, Numbers ou outro), até porque as atividades trabalhadas podem ser aplicadas a planilhas eletrônicas de diferentes softwares, tomando os devidos cuidados para algumas pequenas variações na interpretação simbológica.

Planilhas Eletrônicas no ensino de Matemática


De acordo com o material base estudado em uma das disciplinas do PROFMAT (Mestrado Profissional em Matemática), destacamos algumas informações sobre Planilhas Eletrônicas. Alguns recursos disponíveis nas planilhas eletrônicas que possibilitam diversas aplicações no ensino de Matemática, são:
  • manipulação e operações com grandes quantidades de dados;
  • articulação entre diversas formas de representação;
  • ferramentas lógicas;
  • ferramentas estatísticas.

O material propõe algumas atividades com planilhas eletrônicas, explorando alguns recursos em duas áreas: a) simbologia algébrica, equações e funções; e b) tratamento da informação. Há um destaque para a simbologia própria das planilhas eletrônicas, que vai desde a manipulação e codificação das planilhas até outros recursos das planilhas, entre eles o tratamento do erro.

22 atividades que podem ser ensinadas explorando planilhas eletrônicas


Algumas atividades sugeridas no material


Algumas das atividades sugeridas estão voltadas mais para alunos de ensino médio, de graduação ou professores de matemática, no sentido de estudarem a respeito do uso das planilhas eletrônicas no ensino de matemática. Nada impede que algumas delas possam ser adaptadas para o trabalho inclusive com o ensino fundamental. Estas atividades sofreram pequenas modificações a partir de sua referência, mas preservam os objetivos de discussão da matemática utilizando os recursos computacionais.

Entendimento da simbologia e regras sintáticas das planilhas eletrônicas


1. Use uma planilha eletrônica para fazer as seguintes contas de multiplicação por $11$: $13 \cdot 11$, $24 \cdot 11$, $35 \cdot 11$. Observe que há um padrão nos resultados.
a) Descreva o padrão observado.
b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
c) O que acontece se multiplicarmos um número com mais de 2 algarismos por 11? Também observaremos algum tipo de padrão? Justifique sua resposta.

2. Use uma planilha eletrônica para fazer as seguintes contas: $21 \cdot 202$, $48 \cdot 202$, $35 \cdot 202$, $17 \cdot 202$.
a) Descreva o padrão observado nos resultados.
b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplicação.
c) Para que tipo de multiplicação esse padrão vale? Justifique sua resposta.

3. Observando as atividades 1 e 2, e realizando os mesmos cálculos com uma calculadora responda que vantagens e desvantagens pedagógicas você vê no uso da planilha, em relação ao uso da calculadora, para realizar esta atividade?

4.  Digite o número $2$ na célula A1 de uma planilha eletrônica. Na célula A2, digite =(A1+2/A1)/2. Em seguida, selecione e arraste a célula A1 ao longo da coluna A. De que número os valores que aparecem nessa coluna estão se aproximando? Justifique matematicamente sua resposta.

5. Utilizando a mesma ideia da atividade 4, crie uma sequência de números reais que tenda a $\sqrt{3}$.

6. Digite o número $1$ na célula A1 de uma planilha eletrônica. Na célula A2, digite =(A1 + 1)^0,5. Em seguida, selecione e arraste a célula A1 ao longo da coluna A.
De forma análoga à atividade 4, podemos concluir que o número para o qual os valores da coluna A estão se aproximando satisfaz a equação $x^2 - x - 1 = 0$. Esta equação possui duas raízes reais: $x_1=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ e $x_2=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}$. Por que os valores que aparecem na planilha se aproximam da primeira raiz, e não da segunda?

7. Um aluno estava estudando o comportamento de duas sequências numéricas infinitas, para tentar descobrir para onde elas tendiam. Sem pistas para obter a resposta, ele decidiu recorrer a uma planilha eletrônica. Para programar essa planilha, o aluno procedeu da seguinte forma:
a) A coluna A foi numerada com números naturais em sequência de 1 a 1.
b) Nas posições correspondentes à primeira linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respectivamente: =1/A1; =B1; =1/A1^2; =E1+E2.
c) Nas posições correspondentes à segunda linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respectivamente: =1/A2; =C1+B2; =1/A2^2; =E1+D2.
d) A primeira e a segunda linhas da tabela foram selecionadas e arrastadas até completar a milésima linha.
A figura abaixo mostra um trecho da planilha programada por ele.

Exemplos de atividades que podem ser ensinadas com planilhas eletrônicas (Excel, Calc, outras)

a) Explique o comportamento dos valores mostrados nas colunas B, C, D e E da planilha.
b) Na sua opinião, que sequências o aluno estava tentando estudar?
c) Você considera que a planilha pode ajudá-lo a determinar os limites procurados?
d) Se o aluno arrastasse até a milionésima, você acha que ele teria mais pistas para a resposta do problema?
e) Determine os limites.

8. Na atividade 4, começamos digitando o número $2$ na célula A1 da planilha. Isto significa que o primeiro termo da sequência definida é $2$.
a) Aproveite a planilha que você construiu na atividade 4 e altere o valor da célula A1 para $1$. O valor do limite da sequência continua o mesmo?
b) Experimente alterar a célula A1 para outros valores positivos. Observe o comportamento da sequência.
c) Agora, altere a célula A1 para valores negativos. Observe o comportamento da sequência.
d) Investigue e justifique matematicamente o que você observou nos itens anteriores.

9. Na atividade 2, a planilha eletrônica foi empregada para representar o comportamento de uma sequência definida recursivamente. Frequentemente utilizamos as propriedades de operações com limites para determinar o limite de sequências desse tipo. Entretanto, para isso, devemos ter garantia de antemão da existência desses limites. Caso contrário, estaremos aplicando operações sem validade, que podem levara  a conclusões errôneas. Como por exemplo desses erros, considere a sequência de números reais ${ \left( { a }_{ n } \right)  }_{ n\in N }$ definida da seguinte forma:
${ a }_{ 1 }=2$
${ a }_{ n+1 }=\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { a }_{ n }^{ 2 }+1 \right) ,\quad se\quad n\ge 1$

a) Mostre que $\left( { a }_{ n } \right) $ é crescente
b) Use uma planilha eletrônica para representar os termos de $\left( { a }_{ n } \right) $.
c) Considere o seguinte argumento para determinar o limite de $\left( { a }_{ n } \right) $.
Temos que $x = \lim { { a }_{ n+1 } } =\lim { { a }_{ n } } $.
Então, podemos tomar $x = \lim { { a }_{ n+1 } } =\lim {  { a }_{ n } } $. Logo,
${ a }_{ n+1 }=\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { a }_{ n }^{ 2 }+1 \right) \Rightarrow \quad \lim { { a }_{ n+1 } } =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { \left( \lim { { a }_{ n } }  \right)  }^{ 2 }+1 \right) \Rightarrow $
$x=\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { x }^{ 2 }+1 \right) \Rightarrow \quad { x }^{ 2 }={ x }^{ 2 }-2x+1=0 \Rightarrow \quad x= 1$

Logo, $\lim { { a }_{ n } } =1$.

Esse argumento está correto? Justifique sua resposta.

d) O que você pode concluir sobre a convergência desta sequência? Justifique sua resposta.

Gráficos em planilhas eletrônicas e suas limitações


10. Propomos a construção de gráficos de funções a partir de tabelas de valores. Neste exemplo, ficamos restritos a curvas de grau menor ou igual a 2, descrevendo o procedimento passo a passo. Há uma outra postagem sobre gráfico da função quadrática em que indico como construir e utilizar a planilha.
  • Insira diferentes valores de entrada da função (elementos do domínio) na coluna A da planilha.
  • Escreva a fórmula para a função escolhida na primeira célula da coluna B e arraste esta célula para baixo ao longo da coluna, até o fim dos valores inseridos na coluna A.
  • Em seguida, selecione a coluna B e use o recurso do software para construir um gráfico com os dados inseridos.
  • Use a referência da planilha no inicio desta questão para visualizar o gráfico gerado. Confira utilizando para uma parábola do tipo $y = ax^2 + bx + c$, com $a = -1$, $b = -1$ e $c = 2$. O gráfico terá a seguinte aparência:
Exemplos de atividades que podem ser ensinadas com planilhas eletrônicas  (Excel, Calc, outras)

a) Atribua novos valores para $a$, $b$ e $c$ e interprete o comportamento da função.
b) Houveram melhoras no tratamento dos gráficos, mas os gráficos  que eram mostrados deixavam mais evidente a ligação entre os pontos como sendo pequenos segmentos de reta. Como é possível explicar tal comportamento?

11. a) Numere a coluna A de  uma planilha de  $-3$ a $3$, de $1$ em $1$. Escreva =A1^2 na primeira célula da coluna B e arraste esta célula para baixo ao longo da coluna, até o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione a coluna B e use o recurso de software para construir gráficos. Observe o gráfico traçado.
b) Agora, repita a operação, numerando a coluna A de $-3$ a $3$, de $0,5$ em $0,5$. Trace o gráfico e compare com o aspecto do gráfico anterior.
c) Qual dos gráficos melhor retrata a curva $y = x^2$? Como você poderia melhorar mais o aspecto desse gráfico?

12. Numere a coluna A de uma planilha de $-3$ a $3$, de $0,5$ em $0,5$.
a) Escreva =A1+1 na célula B1 e =B1+1 na célula C1. Em seguida, arraste as células B1 e C1 para baixo, até o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione as colunas B e C use o recurso do software para construir gráficos. Qual é a relação entre os gráficos traçados?
b) Agora, altere a célula B1 para =A1^2 e arraste esta célula para baixo ao longo da coluna B, até o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a coluna C. Observe as mudanças nos dois gráficos traçados. Qual é a relação entre esses gráficos?
c) Altere novamente a célula B1 para =sen(A1) e repita a operação do item anterior; arraste esta célula para baixo ao longo da coluna B, até o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a coluna C. Qual é a relação entre os gráficos traçados?

13. a) Aproveitando a construção da atividade 13, insira =A1+1 na célula B1 e =ABS(B1) na célula C1 e arraste estas células para baixo até o fim dos valores inseridos na coluna A. Use o recurso do software para construir os gráficos correspondentes aos dados nessas duas colunas. Explique a relação entre os gráficos traçados.
b) Altere a célula B1 para =A1^2-1 e arraste-a para baixo, até o fim dos valores inseridos na coluna A. Mais uma vez, observe as mudanças nos gráficos e explique a relação entre eles.
c) Repita os itens anteriores, alterando a célula C1 para B1^2. Compare o comportamento dos diferentes gráficos traçados.
d) Faça novas alterações nas colunas B e C, sempre procurando explicar o comportamento dos gráficos traçados.
e) Faça novas alterações nas colunas B e C, sempre procurando explicar o comportamento dos gráficos traçados.

Tratamento da Informação e Matemática Financeira com Planilhas Eletrônicas


Que bom perceber que algumas das atividades que já havia desenvolvido fazem alguns anos estão exemplificadas de forma similar neste material. Confira duas postagens relacionadas a esta temática aqui no blog:

14. Solicite aos alunos da turma que formem grupos de até seis componentes e construam uma tabela que relacione a altura (em metro) com o tamanho do palmo (em centímetros) de cada um dos estudantes. Cada grupo deve anotar esses dados em uma planilha eletrônica e usar os recursos disponíveis para responder às questões a seguir.
a) Determine os valores da média, moda e mediana para os dados de seu grupo.
b) Explique o significado estatístico da média, da moda e da mediana. Podemos afirmar que necessariamente existe um aluno do grupo cuja altura coincide exatamente com o valor da média? E da mediana? E da moda? Justifique suas respostas.
c) Construa uma tabela de frequência para cada uma das medidas: altura e palmo.
d) Escolha uma representação conveniente e represente graficamente os dados: altura x palmo.
e) Você considera que há alguma relação entre a altura e o tamanho do palmo dos colegas? Justifique sua resposta.
f) Anote os dados de cada um dos outros grupos e compare os dados tabelados e os valores das medidas estatísticas calculadas no item a.

15. Formule uma atividade de coleta e organização de dados que possa ser aplicada em uma turma de ensino médio.
a) Escolha a melhor representação gráfica dentre as possibilidades da planilha eletrônica.
b) Use as funções da planilha de cálculo e determine os valores da média, moda e mediana.
c) Relate que conclusões você pode inferir sobre os dados coletados com base nas representações gráficas e nas medidas?

16. Para a maioria das operações financeiras as taxas de juros compostos são aplicadas a cada período sobre um capital aplicado ou a uma dívida contratada. Desse modo, se o período de capitalização ou incidência dos juros difere do período da taxa de juros informada é necessário uma conversão de modo a adequar o período à taxa. A tabela abaixo pode ser construída com as funções de uma planilha de cálculo.

Exemplos de atividades que podem ser ensinadas com planilhas eletrônicas  (Excel, Calc, outras)

a) Reproduza esta planilha para as conversões indicadas e proponha a conversão para outros valores de taxas, considerando os períodos do exemplo.
b) Apesar de não estar explicita, a conversão acontece para valores de taxas dadas ao ano e que devem ser calculadas para valores ao mês. Que valores estariam nas células Q e R se a taxa dada fosse calculada ao ano e as taxas aplicadas ao trimestre?
c) Simule conversões para diferentes períodos (por exemplo: semestre para bimestre, etc).
d) Observe a função referente à célula S3. Escreva uma justificativa matemática para esta função. Que conceito matemático é empregado para encontrar os valores?
e) Com esta mesma tabela de conversão, sem mudar a função, é possível converter uma taxa dada ao mês no sistema de juros compostos para o equivalente ao ano? Em caso afirmativo, qual é a justificativa matemática para tal conversão?

17. O trecho da tabela abaixo representa um financiamento pelo sistema SAC, no valor de $R\$  50.000,00$ para compra de um imóvel em um período de 300 meses, com taxa de $0,9%$ ao mês.

Exemplos de atividades que podem ser ensinadas com planilhas eletrônicas  (Excel, Calc, outras)

a) Reproduza esta tabela do Sistema SAC em uma planilha de cálculo.
Observe que parar utilizar células que terão valor constante deveremos utilizar o rótulo da coluna sempre entre \$. Por exemplo, toda vez que nesta tabela usar a taxa fixa de $0,9%$ devo criar referência a \$B\$3. Os valores da coluna B, de B4 em diante são obtidos pela subtração de $1$ do valor antecessor: E5=E4-1.
b) Justifique matematicamente cada um dos valores numéricos presentes nas células da linha 4 (B4:F4).
c) O que podemos observar relacionado a cada uma das colunas?
d) Qual o comportamento das parcelas da prestação neste sistema? Justifique.
e) Utilize o assistente de gráficos da planilha e em único sistema cartesiano represente os valores das colunas C, D, E e F com as parcelas da coluna B.
f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemos observar em cada caso?

18. A tabela abaixo apresenta o mesmo financiamento da atividade anterior, utilizando o sistema PRICE.

Exemplos de atividades que podem ser ensinadas com planilhas eletrônicas  (Excel, Calc, outras)

a) O que podemos observar diferente nesta tabela? Justifique.
A figura a seguir representa a situação retratada pela tabela PRICE acima. Ou seja, temos um valor principal e devemos encontrar as parcelas iguais, em modo composto, obtidas a partir do VF. Cabe ressaltar que este valor pode ser obtido por meio das funções estatísticas da planilha. Por exemplo o conteúdo obtido em K4 é dado por Cálculo da Prestação Constante: =PGTO(i%, n; -VP; VF; 0) em que: i é a taxa de juros, n é a quantidade de períodos, VP é o valor do empréstimo, VF é usualmente zero, 0 indica que os pagamentos serão ao final do período.
Exemplos de atividades que podem ser ensinadas com planilhas eletrônicas  (Excel, Calc, outras)
b) Justifique matematicamente cada um dos valores numéricos presentes nas células da linha 4 (J4:M4).
c) Observe a função referente à célula S3. Escreva uma justificativa matemática para esta função. Que conceito matemático é empregado?
d) Qual o comportamento das parcelas da prestação neste sistema? Justifique.
e) Utilize o assistente de gráficos da planilha e em único sistema cartesiano represente os valores das colunas C, D, E e F, com as parcelas da coluna B.
f) Experimente variar os valores de quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemos observar em cada caso?

19. Construa em uma mesma planilha as tabelas com os sistema SAC e PRICE. Para cada um dos casos, represente em eixos cartesianos a amortização, os juros, as prestações e saldo devedor. Comente as vantagens e desvantagens de cada sistema.

20. Construa as tabelas análogas às anteriores, para o caso da taxa dada ao ano com períodos de prestações mensais. Veja a a figura a seguir uma sugestão para inserir a nova entrada com taxa ao ano.
Exemplos de atividades que podem ser ensinadas com planilhas eletrônicas  (Excel, Calc, outras)

21. Em uma planilha eletrônica, considere as colunas A, B e C. Nessas colunas realiza as seguintes operações:

  • Na coluna A, digite nas células A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9 e A10, respectivamente, os valores $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$, $365$, $8.760$, $525.600$ e $31.536.000$.
  • Digite =1+1/A1 na célula B1 e =B1^A1 na célula C1.
  • Arraste as células B1 e C1, ao logo das colunas B e C, até o final dos valores digitados na coluna A.

a) Na coluna C estamos calculando ${ \left( 1+\cfrac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n }$ para $n$ igual a cada um dos valores digitados na coluna A. O que você observa nestes cálculos?
b) Como explicar que ${ \left( 1+\cfrac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n }$ aproxima-se de um número real à medida que $n$ aumenta?

22. Considerando cada uma das subdivisões das atividades sugeridas com o uso das planilhas eletrônicas, responda:
a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados?
b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?
c) Qual é o papel da planilha eletrônica no desenvolvimento das atividades?
d) Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação a abordagem com recursos convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais)?


Referência


GIRALDO, Victor. CAETANO, Paulo Antonio Silvani. MATTOS, Francisco Roberto Pinto. Recursos Computacionais no Ensino de Matemática. Coleção PROFMAT. SBM. 



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Charles Bastos

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2 comentários:

  1. Charles
    Gostei muito do seu trabalho, parabéns pela iniciativa de passar seu conhecimento e seu artigo me proporcionou um grande subsídio para o meu curso de Pós Graduação em Informática Aplicada à Educação no IFSP Campus de Itapetininga, onde buscamos meios de inserir a informatica como apoio ao professor na sala de aula.
    Abraços
    Jerry Adrianni Neves

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    Respostas
    1. Olá Jerry!

      Muito obrigado por sua presença aqui no blog. Que bom que o material que disponibilizo lhe foi útil.

      Esteja à vontade para continuar acompanhando e divulgando o blog!

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