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Afinal, o que são estas tais representações em Matemática?

Conheça um pouco mais sobre as representações no ensino e aprendizagem de matemática.
Este texto é parte de um trabalho de conclusão de curso (alterado a partir do original). Leia antes os itens iniciais: [1] Notas sobre representações e geometria na história da Matemática e [2] Apontamentos sobre o ensino de geometria nas escolas públicas.

O direcionamento deste trabalho está para as representações (semióticas) de objetos matemáticos, em observações sobre estas representações como meio para alcançar os objetos matemáticos e em como utilizar as diversas formas de representar para aprender Matemática. Duval indica que:
As representações mentais recobrem o conjunto de imagens e, mais globalmente, as conceitualizações que um indivíduo pode ter sobre um objeto, sobre uma situação e sobre o que lhe é associado. As representações semióticas são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representações que tem inconvenientes próprios de significação e de funcionamento. [Duval, p.269]
As representações estão em tudo em que nossos sentidos podem alcançar, com elas e nelas associamos conceitos, características, informações, opiniões e mais. Somos capazes de conhecer e mostrar características de objetos matemáticos, indicar propriedades sobre determinado conhecimento, de qualificar e quantificar objetos e estruturar novos conhecimentos e assim elencar novas representações. As representações semióticas, segundo Duval [p.269], são "um meio de exteriorização de representações mentais para fins de comunicação", e mais, são "essenciais à atividade cognitiva do pensamento". Ora, então representações semióticas e representações mentais servem-se uma à outra, pois são dependentes entre si.

São inúmeras as formas de representações semióticas, e em cada uma podem ser tomados diferentes tratamentos. Por ilustração, baseado em Duval, alguns destes tipos de representações estão em registros de descrição, definição, explicação, dedução, figura geométrica, gráfico, construção de instrumentos, modelagem, sistemas de escrita (simbólica, algébrica, numérica), cálculos e tantos outros.

Uma representação não é uma mera imagem desenhada, nela estão características próprias de um objeto matemático. Passos e Nacarato [p.1153 - grifo nosso] dizem - a partir de Fischbein, que "uma figura geométrica é uma imagem virtual, que (...) inclui a representação mental da propriedade do espaço". E continuam indicando que a figura geométrica é "a ideia correspondente da entidade figural idealizada, abstrata, estritamente determinada por sua definição" [p.1155].

Não basta ao(à) estudante desenhar a representação de um objeto geométrico, é preciso que ele(a) compreenda aquilo que irá desenhar. Deve exportar uma representação mental, a partir do que leu e interpretou de um problema e passar para uma representação figural.

Algumas representações em matemática

No estudo em questão, tomamos como referência as representações semióticas (notação, escrita, símbolo, traço, esboço, desenho, construção, gráfico, imagem etc.) de objetos matemáticos (ponto, reta, retângulo, número, função etc.). A figura acima ilustra duas formas de representar um mesmo objeto matemático, observe que em cada forma é possível perceber diferentes propriedades (representações distintas, diferentes sentidos) do objeto matemático: função.

Existem vários procedimentos para, partindo da representação algébrica da função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x-3$ chegar-se à representação geométrica indicada nesta mesma figura, ou proceder pelo caminho inverso. As características e propriedades necessárias para isto fazem parte do conhecimento a ser aprendido, que também é carregado de diferentes representações; o mais importante está justamente no modo como se lida na transformação (tratamento ou conversão) de uma representação, e ainda, que cada estudo envolva em no mínimo duas diferentes representações. Duval, ao descrever sobre "as condições de uma aprendizagem que leva em conta a semiose", afirma que:
Se a conceitualização implica coordenação de registros de representação, o principal caminho das aprendizagens de base matemática não pode ser somente a automatização de certos tratamentos ou a compreensão de noções, mas deve ser a coordenação de diferentes registros de representação, necessariamente mobilizados por estes tratamentos ou por esta compreensão. [Duval, p.284]
O tratamento de uma representação é entendido por sua manipulação, sem alterar a forma de representação, de modo a obter informações para alguma finalidade, por exemplo, tomando a função na figura acima, fazemos $f(x)=0$, escolhemos e aplicamos algum procedimento e encontramos suas raízes $x_1=-3$ e $x_2=1$, mantendo a representação algébrica. A conversão consiste em passar de uma para outra forma de representação; observe as duas representações indicadas na figura acima, em que por algumas transformações, partimos de uma representação algébrica e chegamos em uma representação geométrica, conservando o objeto matemático (função).

Os procedimentos tomados na conversão de uma para outra forma de representação, é um momento que merece maior atenção, por conta de sua contribuição para a aprendizagem. Quais são as observações feitas para decidir por um ou outro procedimento? Qual foi o procedimento adotado? Este procedimento é compreendido por quem o utiliza? As informações colhidas são suficientes para garantir características mínimas do objeto matemático? Atentar-se para este momento de associar características de determinado objeto para diferentes representações e destas características manterem relações suficientes para se converter de uma para outra representação por meio de transformações.

Analisar os registros de representações escolhidos pelos estudantes, permite ao professor perceber o nível de compreensão em que estes se encontram, e mais, criar outras práticas de ensino que possibilitem tomar diferentes procedimentos para não só a solução correta, mas a aprendizagem de fato. Estas e outras observações estão presentes no artigo de Ziemer et al., em que a partir das soluções retornadas de um problema aplicado para estudantes do 1º ano do Ensino Médio, explicitam diferentes registros de representações.
Um taxi começa uma corrida com o taxímetro marcando R\$ $4,00$. Cada quilômetro rodado custa R\$ $1,50$. Se ao final de uma corrida, o passageiro pagou R\$ $37,00$, a quantidade de quilômetros percorridos foi? a) $22$ b) $11$ c) $33$ d) $26$ e) $32$ [Ziemer et al., p.5]
Os autores observaram diferentes representações na solução deste problema, pelos estudantes. Os procedimentos utilizados incluem representações do tipo \textbf{algébrico} pela resolução da equação: $37=4+1,5 \cdot x$; \textbf{registro numérico} por meio de operações inversas: $(37 - 4)\div 1,5 = 22$; \textbf{procedimento exaustivo} expressando o valor a cada quilômetro rodado: $4; 5,5; 7; \cdots; 35,5; 37$ e depois, contando quantas vezes foi utilizado o valor $1,5$; e próximo ao procedimento anterior, mas organizando as informações em tabela ou lista.

O modo de representar a matemática como se conhece atualmente é relativamente novo, quando comparado ao longo período de desenvolvimento desta ciência; antes praticamente não havia uma forma específica de representação, elas foram surgindo por situações mencionadas anteriormente. As primeiras formas estruturadas de representação em matemática eram baseadas em palavras.

Uma configuração do século XX sobre a geometria é de que ela é
um ponto de vista - uma maneira particular de observar o assunto. Além de a linguagem da geometria frequentemente ser muito mais simples e elegante do que a linguagem da álgebra e da análise, às vezes é possível levar a cabo linhas de raciocínio rigorosas em termos geométricos sem traduzi-las para a álgebra e a análise. Disso resulta uma economia considerável, tanto de reflexões como de comunicações de reflexões. Além disso, (...) as imagens geométricas sugeridas frequentemente levam a resultados e estudos adicionais, dotando-nos de um instrumento poderoso de raciocínio indutivo ou criativa. [Howard Eves, p.28]
E mais,
Grande parte da análise moderna tornou-se singularmente compacta e unificada através do emprego da linguagem e das imagens geométricas. Parece não haver dúvida de que isto se infiltrará nos cursos elementares de análise, e os atuais textos de cálculo, supervolumosos, deverão se tornar mais exíguos e também mais compreensíveis para os alunos, graças ao uso do ponto de vista geométrico. [Howard Eves, p.29]
Ora, percebe-se novamente a importância em valorizar o ensino e a aprendizagem de geometria em Matemática, com destaque para o "emprego da linguagem e das imagens geométricas" quanto a ampliação de possibilidades de conhecimento e na aproximação destes conhecimentos do entendimento dos estudantes.
Para Platão, os objetos sensíveis são suscetíveis a mutações enquanto seus modelos abstratos são imutáveis, eternos e universais. Na matemática, interesse está nas figuras abstratas e não em suas representações reais. [Mol, p.38]
Para Aristóteles, as formas geométricas não existem como entidades independentes do mundo real. Os objetos matemáticos existem como abstração dos objetos reais, mas sua existência depende da existência do próprio objeto. [Mol, p.41]
Não é o ponto de vista de Platão que quer-se enfatizar, tratar-se-á tanto de modelos abstratos quanto de representações reais. Ora, muito da matemática foi construído por meio de moldes, de modelagens daquilo que é real, tornando-se regra, padrão e então podendo ser adequado a incontáveis situações reais, ou é, permite-se a aplicação na percepção da teoria e da prática. Quer-se, discutir o uso de diferentes formas de representações semióticas no ensino e aprendizagem de matemática.

Os recursos visuais e palpáveis permitem ampliar a comunicação entre os sujeitos a respeito daquilo que eles referenciam. As condições destes recursos e o modo como eles são trabalhados devem ser considerados do planejamento aos resultados obtidos após o desenvolvimento das aulas. Com o acelerar de avanços tecnológicos, surgiram inúmeras possibilidades de recursos visuais; para estes estudos, serão referenciadas algumas formas de representações e como elas podem ser exploradas no ensino e aprendizagem em geometria.

Boavida et al. [p.71-75], baseando-se em Jerome Bruner, descreve e exemplifica três modos de representação, conforme o esquema da figura acima [tradução nossa]. As representações ativas, referem-se àquelas em que há a manipulação de objetos e a simulação de situações criando modelos ilustrativos. As representações icônicas são visuais e ilustram conceitos, procedimentos ou relações entre eles. Simbólicas são as representações referentes à experiência em termos da linguagem simbólica.

São inúmeras as formas de representações em matemática, priorizou-se abranger algumas delas, quando se trata principalmente de práticas de ensino e de aprendizagem em geometria. E quanto as práticas, enfatizaremos situações da presença destas representações em livros didáticos, nos meus planejamentos de aula, em reproduções e criações de estudantes do Ensino Fundamental dos quais já fui professor. Para tanto, consideramos representações que vão da simbologia própria da linguagem matemática, da construção de conjuntos numéricos, da linguagem algébrica, das relações entre diferentes representações, da transformação de representações, da conversão, do explorar dos sentidos e da imaginação.

Na postagem em que continuaremos neste assunto, confira algumas formas de representação.

Charles Bastos

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