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Conjecturas sobre os Números de Fibonacci

Três conjecturas sobre os Números de Fibonacci, por Sebá.
Em mais uma contribuição do professor Sebá, seguem três conjecturas sobre os Números de Fibonacci. As conjecturas detalhadas a seguir referem-se a números primos, há bastante conteúdo a respeito no livro de Aritmética da coleção do PROFMAT, estruturado por Abramo Hefez. Neste mesmo livro, o capítulo 11 é dedicado aos números de Fibonacci. Saiba um pouco mais a respeito de Fibonacci em outra postagem aqui no blog.

Conjecturas sobre os Números de Fibonacci


Sequência de Fibonacci


Por definição, os primeiros dois números da sequência de Fibonacci são tomados por $0$ e $1$ ou por $1$ e $1$, há depender do ponto de partida escolhido da sequência, e cada número seguinte é a soma dos dois imediatamente anteriores.

Em termo matemático, a sequência dos números de Fibonacci é dada pela relação de recorrência$F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2}$.
Tomando que $F_0=0$ e $F_1=1$ ou que $F_1=1$ e $F_2=1$.


A recorrência do Número de Fibonacci


O exemplo a seguir, foi retirado do livro citado acima, trata-se de estudo sobre recorrência e consta na p. 85.

Determine o número de Fibonacci $F_{n}$ definido por
$F_{n+2}=F_{n+1} + F_{n}$, com $F_{0}=0$ e $F_{1}=F_{2}=1$.

A equação característica é $r^2=r+1$ e as suas raízes são dadas por
$r_{1}=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ e $r_{2}=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Então,
$F_{ n }=C_{1}{ \left( \cfrac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)  }^{ n }+ C_{2}{ \left( \cfrac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)  }^{ n }$


Para determinar $C_{1}$ e $C_{2}$, podemos usar, mais convenientemente, $F_{0}=0$ e $F_{1}=1$.
Obtemos o sistema
$\\ \begin{cases} { C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }=0 \\ { C }_{ 1 }\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 } +{ C }_{ 2 }\frac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 } =1 \end{cases}$

Resolvendo o sistema, encontramos $C_1=-C_2=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Daí:

$F_{ n }=\cfrac { 1 }{ \sqrt { 5 } } { \left( \cfrac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } \right) }^{ n }-\cfrac { 1 }{ \sqrt { 5 } } { \left( \cfrac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } \right) }^{ n }$.



Conjectura 1 sobre o Número de Fibonacci 

Se o número $F_n$ de Fibonacci for primo, então, $n$ também o é.
Exemplos:
$F_{5} = 5$ e $n = 5$;
$F_{7} = 13$ e $n = 7$;
$F_{11} = 89$ e $n = 11$;
$F_{13} = 233$ e $n = 13$;
$F_{17} = 1597$ e $n = 17$;
$F_{23} = 28657$ e $n = 23$;
$(\cdots)$


Conjectura 2 sobre o Número de Fibonacci

Se o número $F_n$ de Fibonacci for primo, então, $Fn$ é da forma $4k + 1$.
Exemplos:
$F_{5} = 5$ e $5= 4\cdot1 + 1$
$F_{7} = 13$ e $13 = 4 \cdot 3 + 1$
$F_{11} = 89$ e $89 = 4 \cdot 22 + 1$
$F_{13} = 233$ e $233 = 4 \cdot 58 + 1$
$F_{17} = 1.597$ e $1.597= 4 \cdot 399 + 1$
$F_{23} = 28.657$ e $28.656 = 4 \cdot 7.164 + 1$
$(\cdots)$


Conjectura 3 sobre o Número de Fibonacci

Todo número de Fibonacci da forma $F_{2n – 1} > 1$, pode ser escrito como a soma de dois quadrados de inteiros por meio da fórmula $F_{2n-1}={F_{n}}^2+{F_{n-1}}^2$. em que $n$ é ímpar maior que 1.

Exemplos:
1) $F_3 = 2$, implica que $2n – 1 = 3$ e $n =2$.
Se $n = 2$, então, $F_3=(F_2)^2+(F_1)^2$ ou $2 = 1^2 + 1^2$

2) $F_5 = 5$, implica que $2n – 1 = 5$ e $n =3$.
Se $n = 3$, então, $F_5=(F_3)^2+(F_2)^2$ ou $5 = 2^2 + 1^2$

3) $F_7 = 13$, implica que $2n – 1 = 7$ e $n =4$.
Se $n = 4$, então, $F_7=(F_4)^2+(F_3)^2$ ou $13 = 3^2 + 2^2$

4) $F_9 = 34$, implica que $2n – 1 = 9$ e $n =5$.
Se $n = 5$, então, $F_9=(F_5)^2+(F_4)^2$ ou $34 = 5^2 + 3^2$

5) $F_{11}  = 89$, implica que $2n – 1 = 11$ e $n =6$.
Se $n = 6$, então, $F_{11}=(F_6)^2+(F_5)^2$ ou $89 = 8^2 + 5^2$

6) $F_{13}  = 233$, implica que $2n – 1 = 13$ e $n =7$.
Se $n = 7$, então, $F_{13}=(F_7)^2+(F_6)^2$ ou $233 = 13^2 + 8^2$

7) $F_{15}  = 610$, implica que $2n – 1 = 15$ e $n =8$.
Se $n = 8$, então, $F_{15}=(F_8)^2+(F_7)^2$ ou $610 = 21^2 + 13^2$

8) $F_{17}  = 1.597$, implica que $2n – 1 = 17$ e $n =9$.
Se $n = 9$, então, $F_{17}=(F_9)^2+(F_8)^2$  ou $1.597 = 34^2 + 21^2$

9) $F_{19}  = 4.181$, implica que $2n – 1 = 19$ e $n =10$.
Se $n = 10$, então, $F_{19}=(F_{10})^2+(F_9)^2$ ou $4.181 = 55^2 + 34^2$

$(\cdots)$

10) $F_{75} = 2.111.485.077.978.050$, implica que $2n – 1 = 75$ e $n =38$.
Se $n = 38$, então,  $F_{75}=(F_{38})^2+(F_{37})^2$ ou $2.111.485.077.978.050 = 390.881.169^2 + 24.157.817^2$


Parte deste artigo foi enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br.

Charles Bastos

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