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Matemática financeira e renda certa

Confira um pouco sobre matemática financeira e renda certa.
Por estes dias precisei compreender um pouco sobre Renda Certa, matemática que nunca havia me arriscado antes. Não é que seja difícil o conteúdo, só um pouco trabalhoso com os cálculos...

Renda certa (anuidade) é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto a nível financeiro quanto de investimentos. As rendas periódicas podem ser Postecipadas, Antecipadas e Diferidas:

Matemática financeira e renda certa

a) Postecipadas – aquelas na qual o pagamento no fim do primeiro período. O exercício 1 da lista de situações-problemas abaixo, configura uma renda postecipada; 

b) Antecipadas – aquelas na qual o primeiro pagamento é feito no ato da compra, ou seja, na época zero ou hoje e as demais no fim de cada período: mês, bimestre, etc. O exercício 4 de situações problemas abaixo, configura uma renda postecipada;

c) Diferidas – aquelas na qual o primeiro pagamento é feito após o primeiro período. Exemplos: promoções do tipo compre hoje e pague daqui a 60 dias ou daqui a 90 dias.

Para calcular a prestação de uma série postecipada usando:

a) o capital temos a fórmula:

$P = C \left( \frac{{(1+i)}^n \cdot i}{{(1+i)}^n - i}  \right) $


b) o montante temos a fórmula:

$P = M \left( \frac{1}{{(1+i)}^n - i}  \right) $


Para calcular a prestação de uma série antecipada usando:

a) o capital temos a fórmula:

$P = C \left( \frac{{(1+i)}^n \cdot i}{{(1+i)}^n - i}  \right) \cdot \left( \frac{1}{(1+i)}  \right) $


b) o montante temos a fórmula:

$P = M \left( \frac{1}{{(1+i)}^n - i}  \right) \cdot \left( \frac{1}{(1+i)}  \right) $



Observe que $P$ é o valor de cada prestação a ser pago, $C$ é o capital atual (empréstimo, dívida adquirida,etc.), $M$ (é o montante = Capital + Juros), $n$ é o período (tempo, número de prestações) e $i$ é a taxa (porcentagem de juros).

Encontrei outras notações e interpretações para tais situações, inclusive uma para a renda Diferida (que não consta neste post). Em uma destas notações, há o entendimento sobre cantoneira, mas preferi pela maior simplicidade da notação apresentada... Quem sabe isso não se torna assunto para complementar o post ou para novos posts!

Seguem 4 sugestões de situações-problemas para brincar um pouco...

1. Fiz um empréstimo e vou pagá-lo em $6$ prestações mensais e iguais, ao final de cada mês, de $R\$ 230,00$. Sabendo que a taxa desse financiamento foi de $4,5$% ao mês, qual o valor do empréstimo? 

2. Um empréstimo de $R\$ 5.000,00$ é concedido por uma instituição financeira a ser liquidada em 1 ano e meio com prestações mensais e iguais. Sabendo que a taxa de juros é de $36$% ao ano, determine o valor da prestação e a diferença a mais paga em relação ao valor inicial do empréstimo. 

3. Um cliente solicitou um empréstimo no valor de $R\$ 10.000,00$ para pagar em $5$ prestações mensais e iguais, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento $30$ dias após a data da contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de $10$% ao mês, calcule o valor da prestação. 

4. Qual o valor aproximado das parcelas pagas por um empréstimo no valor de $R\$ 10.000,00$ contratado para ser liquidado em $3$ prestações mensais, a uma taxa de juros de $10$% a.m., sendo que a primeira parcela será paga no ato da compra e as demais a cada $30$ dias após a compra?


Referências


ABREU, Edgar. Matemática Financeira. Disponível em: http://www.edgarabreu.com.br/download/Mat%20Financeira.pdf, acesso em 12 out. 2013.

BEZERRA MARCOS. Matemática Financeira. Disponível em: http://www.capital-h.com.br/Aulas/0/0/NTGP%20%20%2018/000027/000/gp%2018%20matematica%20apostila.pdf, acesso em 12 out. 2013.

MATFIN. Aprenda Matemática Financeira. Tutoriais. Disponível em: http://www.matfin.net/tutoriais.asp, acesso em 08 out. 2013.


Indicações e referências complementares

Após algumas recomendações do professor Sebá , atualizei este post melhorando algumas escritas e acrescentei algumas referências a respeito da temática.

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, l992.

AYRES, Frank Jr. Resumo da teoria, 500 problemas resolvidos. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.

FARIA, Rogério Gomes de. Matemática comercial e financeira. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1987.

FARO, Clóvis de. Princípios e aplicações do cálculo financeiro. Rio de Janeiro: LTC, 1990.

HAZZAN, Samuel. Matemática financeira. São Paulo: Atual, 1986.

LAPONI, Juan Carlos. Matemática financeira: com aplicações em microcomputadores & planilha de cálculo. Rio de Janeiro: EBRAS Editora Brasileira, 1987.

MATHIAS, Washington Franco. Matemática financeira. São Paulo: Editora Atlas, 1981

NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Engenharia Econômica - técnica de avaliação e seleção de projetos de investimentos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2010. 

NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Matemática financeira ao alcance de todos. Séries de pagamentos ou recebimentos, taxa interna de retorno, sistemas de amortização, inflação.Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2012. 

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, l998. 

VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1998.

Charles Bastos

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