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Gráfico da função quadrática e equação do 2º grau em uma planilha no Excel

Planilha confeccionada no Excel, que permite relacionar características de uma função quadrática com o seu gráfico.
Esta semana atualizava um post que criei quando divulguei uma planilha que havia implementado sobre Movimento Uniformemente Variado (Física), quando pensei em criar uma planilha para estudar alguns cálculos e características presentes em equações do 2º grau com uma incógnita.

Ao pesquisar a respeito, encontrei várias planilhas, algumas apresentando procedimentos de cálculos, outras com tabela para inserir valores e produzir gráficos (função) e diferentes funcionalidades.

Gráfico da função quadrática e equação do 2º grau em uma planilha no Excel

Acredito que seja importante o processo de criação da planilha, pois para implementar cálculos e funcionalidades é preciso ter conhecimento do conteúdo em questão; este seria um bom exercício de ensino e aprendizado. Nesta postagem, relato um pouco sobre o tema, descrevo as funcionalidades da planilha, indico um passo a passo com as fórmulas que foram implementadas, mostro um exemplo e disponibilizo o arquivo da planilha para download.

Não há uma descrição sobre o conteúdo de estudo de equações do 2º grau. Este conteúdo é bastante extenso, e demandaria maior espaço para discussão. Confira as sugestões de leitura no final da postagem. O interessante aqui seria associar o conteúdo presente em livros didáticos e ir testando os exemplos e exercícios destes livros e assimilando cada um dos tópicos abordados na planilha.

Com um computador para desenhar gráficos (...), o professor e o aluno podem testar hipóteses e investigar raciocínios com defeito. Revista Cálculo, edição 15, p. 29.

Há na edição 15 da Revista Cálculo, alguns exemplos do uso do Excel, vale conferir (p. 30 a p. 39).
A Planilha e Suas Funcionalidades

Gráfico da função quadrática e equação do 2º grau em uma planilha no Excel

A planilha foi criada para apresentar resultados e algumas características próprias da equação que for analisada. Para utilizar destes cálculos basta o usuário adicionar os coeficientes da equação do 2º grau. Como a equação do 2º grau pode ser escrita da seguinte forma $a\cdot { x }^{ 2 } + b\cdot x + c = 0$, e portanto, os coeficientes sendo $a$, $b$ e $c$.

As funcionalidades da planilha são:
  • Retorna sobre a concavidade do gráfico da equação do 2º grau em estudo; 
  • Apresenta o resultado do cálculo do discriminante e retorna uma das três possibilidades de sua ocorrência: discriminante maior, igual ou menor que zero (número de raízes reais da equação); 
  • Apresenta o resultado do cálculo do vértice da parábola da equação em estudo $({X}_{v}, {Y}_{v})$, além de indicar se a curva possui ponto de mínimo ou ponto de máximo; 
  • Apresenta o resultado do cálculo das raízes reais da equação e os pontos $P$ e $Q$ em que a parábola corta o eixo $X$ (claro que dependendo do discriminante, podendo ter nenhuma, uma ou duas raízes reais); 
  • E ainda apresenta o gráfico da equação no intervalo de números inteiros $[-10, 10]$ para $x$.

A Planilha - Como Criei!


Aqui indicarei as fórmulas implementadas em cada um dos cálculos, relacionando as células ao valor real de cálculo. Observe que as células poderiam variar dependendo da posição em que fossem realizadas as formatações. 

Acredito que esta é uma parte importante, pois organizar uma planilha deste modo é simples, mas demanda compreensão sobre lógica e entendimento do conteúdo (equação do 2º grau).

Gráfico da função quadrática e equação do 2º grau em uma planilha no Excel

1º) Coeficientes (equação do 2º grau)

As três células em amarelo são os únicos espaços em que o usuário poderá inserir dados. No momento em que insere um dos três valores todos os demais espaços configurados vão se alterando e apresentando resultados.

Nestas células não há formulações, mas é a partir delas que são realizadas praticamente todas as fórmulas. Elas correspondem a: E7 = coeficiente $a$, G7 = coeficiente $b$, I7 = coeficiente $c$.

2º) Concavidade

As células mescladas para a concavidade estão com a seguinte codificação:
=SE(E7="";"";SE(E7=0;"Atenção!!! Esta não é uma equação do 2º grau";SE(E7>0;"Como a > 0, o gráfico da equação tem concavidade voltada para cima.";"Como a < 0, o gráfico da equação tem concavidade voltada para baixo.")))

A célula E7 que se repete por três vezes na codificação refere-se ao coeficiente $a$ da equação em estudo pelo usuário.

Esta codificação permite um dos possíveis retornos na condicional SE:
# se E7 estiver vazia, o retorno é vazio;
# se E7 for preenchida com $0$ (zero), o retorno é a mensagem: "Atenção!!! Esta não é uma equação do 2º grau";
# Se E7 for preenchida com um valor maior que $0$ (zero), o retorno é a mensagem: Como $a > 0$, o gráfico da equação tem concavidade voltada para cima.
# Se E7 for preenchida com um valor menor que $0$ (zero), o retorno é a mensagem: Como $a < 0$, o gráfico da equação tem concavidade voltada para baixo.

3º) Discriminante

Para o discriminante existem dois espaços de células mescladas. Um espaço reservado para o cálculo e outro para retornos a respeito deste cálculo.

A codificação para o cálculo do discriminante é:
=SE(E7="";"";SE(E7=0;"";G7*G7-4*E7*I7))

Observe que a condicional SE:
# Verifica se o coeficiente $a$ (E7) está vazio, se estiver, não é realizado cálculo e no espaço é retornado vazio;
# Verifica se o coeficiente $a$ (E7) é zero, se for zero, faz o mesmo retorno de vazio;
# Não sendo zero ou vazio (sem preenchimento), realiza o cálculo do discriminante que está escrito por $b \cdot b - 4 \cdot a \cdot c$.

A codificação para retorno sobre o resultado do discriminante:
=SE(D12="";"";SE(D12=0;"A equação possui duas raízes reais e iguais";SE(D12>;0;"A equação possui duas raízes reais e diferentes.";"A equação não possui raízes reais.")))

Observe que a codificação está em torno da célula D12, esta célula representa o valor do cálculo do discriminante, para ele são feitas as verificações:
# Se o discriminante (D12) não tiver preenchimento o retorno é vazio (nada é preenchido);
# Se o discriminante for $0$ (zero), o retorno é: A equação possui duas raízes reais e iguais;
# Se o discriminante for maior que $0$ (zero), o retorno é: A equação possui duas raízes reais e diferentes.
# Se o discriminante for menor que $0$ (zero), o retorno é: A equação não possui raízes reais.

4º) Vértice

Para o vértice existem duas codificações, uma para cada coordenada:
=SE(E7="";"";SE(E7=0;"#";-G7/(2*E7)))
=SE(E7="";"";SE(E7=0;"#";-D12/(4*E7)))

A primeira linha de codificação calcula a coordenada $x$ do vértice e a segunda linha calcula a coordenada $y$ do vértice. As duas linhas verificam se:
# Se o coeficiente a não foi inserido, não havendo inserção não é realizado cálculo e o retorno é vazio;
# Se o coeficiente a for $0$ (zero), o retorno é # (indicando que isso não pode ocorrer, por se tratar de uma equação do 2º grau;
# Se o coeficiente a for inserido e não for zero, o cálculo é realizado ${X}_{v}=\frac {-b}{2\cdot a} $ e ${Y}_{v}=\frac {-\Delta}{4\cdot a}$;

Há ainda a codificação com retornos sobre o vértice:
=SE(E7="";"";SE(E7=0;"Impossível calcular o vértice";SE(E7>0;"A parábola possui ponto de mínimo em Yv.";"A parábola possui ponto de máximo em Yv.")))

Esta codificação realiza as verificações:
# Se o coeficiente $a$ (E7) não for preenchido, retorna vazio (nenhuma informação);
# Se o coeficiente $a$ for preenchido com $0$ (zero), retorna: Impossível calcular o vértice;
# Se o coeficiente $a$ é maior que $0$ (zero), retorna: A parábola possui ponto de mínimo em ${Y}_{v}$;
# Se o coeficiente $a$ é maior que $0$ (zero), retorna: A parábola possui ponto de máximo em ${Y}_{v}$.

5º) Raízes reais da equação

As células mescladas para o cálculo das raízes da equação, possuem a codificação:
=SE(D12="";"";SE(D12<0 data-blogger-escaped-br="">=SE(D12="";"";SE(D12<0 data-blogger-escaped-font="">

As duas codificações verificam:
# se o discriminante (D12) está vazio e retorna vazio;
# se o discriminante é menor que zero e retorna # (indicando que não existe raiz real para a equação e, portanto, a parábola não corta o eixo $x$);
# se o discriminante não está vazio e não é menor que zero, as codificações realizam, respectivamente, o cálculo para $x'$ e $x''$, as duas coordenadas $x$ (raízes) dos pontos $P$ e $Q$ que são intersecção da parábola com o eixo $x$.

Há ainda uma pequena codificação que copia as coordenadas $x$, mostrando os pontos $P$ e $Q$:
=SE(D19="";"";D19)
=SE(G19="";"";G19)

Gráfico da função quadrática e equação do 2º grau em uma planilha no Excel

6º) Gráfico

Construir o gráfico com os valores dos cálculos realizados anteriormente (vértice e raízes) demanda um pouco mais de codificação e algumas outras implementações.

Nesta planilha foi preferido organizar uma tabela, com duas colunas e o tipo de gráfico escolhido foi o de dispersão XY. A primeira com valores para x no intervalo de números inteiros $[-10, 10]$ e a segunda com o cálculo dos valores $y$, neste caso, interpretou-se a equação na forma de função $(f(x)= y = a \cdot {x}^{2} + b\cdot x + c)$. Assim, quando são inseridos os valores para $a$, $b$ e $c$ (coeficientes) o gráfico é gerado.

A codificação para a segunda coluna é baseada na codificação de uma célula e que é copiada para todas as demais da coluna $y$ na tabela:
=\$E\$7*AA4*AA4+\$G\$7*AA4+\$I\$7

Observe o uso de \$, esse sinal fixa a linha e a coluna da célula, ou seja, permite que se copie a fórmula desta primeira célula para as demais sem alterar a célula em quem o símbolo \$ aparece. Veja que apenas a célula AA4 não possui este símbolo, é ela que será alterada ao copiar o código nesta célula para as demais linhas de células na coluna.

O cálculo presente nesta codificação é justamente $a \cdot x \cdot x + b \cdot x + c$.

Confira as outras planilhas no Excel disponíveis no blog.

Download


A planilha está disponível para download a partir dos servidores abaixo. Caso queira editar, implementar ou conferir algumas funções da planilha, a senha de desbloqueio é a sequência de 1 a 6.
  • Arquivo originado em: Microsoft Office Excel 2010. 

Google Drive
Google Drive
Box
Box

Um exemplo

Confira como fica a planilha após a inserção dos coeficientes da equação $-4 \cdot {x}^{2} + 4 \cdot x + 5 = 0$.


Gráfico da função quadrática e equação do 2º grau em uma planilha no Excel

Sugestões de Leitura


[1] Equações do Segundo Grau Com Uma Incógnita (Blog Fatos Matemáticos)

[2] Função Quadrática - Aplicações (Blog Prof. Edigley Alexandre)

[3] O método de completar quadrados: processo prático (Blog Vivendo Entre Símbolos)

[4] Resolvendo Equações Quadráticas pelo Método Geométrico de Descartes (Blog O Baricentro da Mente)

[5] Exemplo de simulador. [Professor Cardy]

Charles Bastos

Comente este artigo:

14 comentários:

  1. Olá Charles.

    Gostei bastante da postagem e da planilha, que por sinal ficou excelente para estudar a função quadrática e seu gráfico. Muito bom.

    Um abraço!

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    1. Oi Kleber, é um prazer receber pessoas que demonstram interesse pelo que dedicamos.

      É muito bom receber seu comentário por aqui! Volte sempre!

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  2. Olá Charles!

    Primeiramente gostaria de agradecer pela divulgação de um dos meus artigos como sugestão de leitura que você fez nesta publicação, muito obrigado mesmo. A equação do 2º grau é um conteúdo bem aplicável em situações do dia a dia e que pode ser bem contextualizado na hora de termos que ensiná-lo para nossos alunos. Uma alternativa para analisarmos melhor as características deste conteúdo você conseguiu mostrar nesta publicação que por sinal ficou muito boa, parabéns. Ficou melhor, pelo fato de você ter disponibilizado a planilha tanto em extensão para o Excel como Online oferecendo a possibilidade de podermos fazer nossas próprias análises na prática sobre as equações de 2º grau com um variável. A cada dia que passa me sinto mais contente em termos feito essa parceria. Mais uma vez obrigado pela divulgação e a propósito, ótimas sugestões de leitura, os demais citados também são feras na matemática. Até a próxima publicação maninho!

    Att. Romirys Cavalcante

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    1. Romirys!

      Você bem sabe que o que tenho feito se deve às suas interações com este blog. Obrigado!

      Precisamos buscar alternativas para trabalhar os conteúdos, sem mudar a linguagem matemática para um estilo em que se perde o sentido teórico e ainda associar sempre que possível à prática.

      Este exemplo é apenas uma das inúmeras possibilidades de aula para verificação de características das diferentes equações do segundo grau com uma incógnita. O sentido principal é bem esse, observar o que ocorre em cada diferente situação.

      Mesmo com exemplos assim, é preciso cuidar do direcionamento da aula, pois não está só na ferramenta, é basicamente do sujeito o aprender e o ensinar. Digo isso, porque um professor poderia pegar uma planilha dessa e entregar ao aluno e dizer, verifique se suas respostas estão corretas e ficar nisso. Se é isso que o aluno faz, pouco ou nada vale usar a planilha.

      Muito obrigado por comentar!

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  3. Olá, Charles!

    Obrigado por citar o meu blog como sugestões de leitura. Você fez um ótimo trabalho neste artigo.

    Abraço!

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    1. Olá Edigley!

      Que ótimo que você gostou do artigo. Estou preparando outros neste mesmo padrão.

      Se você me permitir, estarei me referenciado ao seu blog, sempre que perceber algum conteúdo que possa complementar ou ampliar as possibilidades de aprendizagem.

      Obrigado pela leitura do post e por comentar!

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    2. Olá, Charles!

      Farei o mesmo!

      Abraço!

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    3. Olá!

      Edigley, será um prazer perceber algum artigo meu citado em seu blog.

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  4. Muito boa a sua postagem e obrigado por citar o meu blog como sugestão de leitura. Adicionei o seu blog na lista de blogs interessantes do Fatos Matemáticos.

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    1. Obrigado por comentar Prof. Paulo Sérgio!

      Estou visitando bastante o Fatos Matemáticos... Ainda hoje fiz uma leitura por lá!

      Sempre que puder e for permitido estarei creditando produções de outros blogs e indicando boas leituras!

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  5. Olá Xarlles Excelente suas postagens!!!
    Parabéns!!!

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    1. Oi Flavio!

      Que bom que você gostou das postagens [obrigado]! Volte sempre que puder... Leia algumas outras postagens.

      Podemos conversar sobre elas... Melhoramos nossos conteúdos e conseguimos até ideias para novos posts!

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  6. Boa tarde Charles X. Não estou conseguindo baixar a planilha. Como posso obtê-las?

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    1. Olá José Kenedy!

      Verifiquei os links indicados nesta postagem para a planilha e eles estão redirecionando corretamente. Vi seu retorno de que conseguiu acesso posteriormente, havendo algum problema em um dos links desta ou outras postagens, por favor, me retorne para que possa corrigir.

      Obrigado pelo aviso e por seu acesso ao blog.

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