Você certamente já aplicou a Lei do Corte nas divisões

Lei do Corte de Fatores nas Frações: Nas frações em que numerador e denominador possuam o mesmo fator faz-se o corte desses fatores. Lei do Corte dos Zeros nas Divisões: Nas divisões em que o dividendo e o divisor possuam zeros no final dos números, cortam-se os zeros dos dois números e resolve.

É claro de ampliei a problemática, mas é bem isto o que os alunos recebem e acabam aplicando. Em verdade, comumente faz-se isso nas divisões. Mas e o entendimento do que foi feito como fica? É preciso compreender que isso não é Lei do Corte de Fatores ou de Zeros e eu já ouvi alunos reproduzindo esse termo. Resolvi retratar sobre isto, até com certo exagero em alguns exemplos, por já ter me deparado com inúmeros atalhos e vícios que mais contribuem para não permitir o entendimento correto do procedimento e causar erros graves que para facilitar o desenvolvimento de cálculos.

A simplificação de frações é um exemplo de estudo deste conteúdo. Quando se estuda fatoração, um exercício que surge é o de realizar cálculos com frações encontrando fatores comuns e a explicação é de que se pode cortar estes fatores.

Surgem problemas com o tal do corte, dentre eles:

• alunos começam a confundir e realizar cortes para praticamente tudo (aplicação incorreta);
• não há um entendimento correto do conteúdo (repetições massivas de procedimentos, mecanização);
• a teoria da matemática neste conteúdo é falha (teorização a grosso modo e sem o devido estudo).

O que realmente foi realizado na divisão da imagem? Uma simplificação por $100$ nos termos dividendo (numerador) e divisor (denominador).

Fatoração de Números e Simplificação de Frações

Estes conteúdos são comumente aprendidos a partir da 5ª série (6º ano). Fatorar números ou decompor em fatores primos é escrever um número na forma de uma multiplicação, na qual todos os fatores são números primos. Exemplo:

Antes de entendermos o que é simplificar frações é importante ressaltar a propriedade fundamental das frações, que está diretamente relacionada ao tal corte nas divisões:

Multiplicando o numerador e o denominador de qualquer fração por um mesmo número natural, não-nulo, sempre se obtém uma fração equivalente à inicial.

Simplificar uma fração é encontrar outra, equivalente à primeira, mas com numerador e denominador menores. A maneira mais utilizada de simplificar uma fração é dividir seu numerador e seu denominador por um divisor comum (maior que $1$).

Alguns problemas evidenciados

1) O caso da imagem que abre a postagem. Um problema com o resto!

Um erro característico é quando se quer verificar o cálculo realizado e ocorre a seguinte situação: $300 \cdot 162 + 1 = 48.601$ e os $99$ que faltam para $49.700$?

Na verdade, o cálculo com a simplificação foi $\cfrac{487}{3} = 162$ e resto $1$. E a verificação deveria ser para este cálculo. $162 \cdot 3 + 1 = 487$.

Como a simplificação realizada foi dividir o dividendo (numerador) e o divisor (denominador) por $100$, para retornar à questão inicial é preciso multiplicar o resto pelo mesmo fator da simplificação, ou é, por $100$. Então teremos: $300 \cdot 162 + 100 = 48.700$

2) Outros raros cortes e erros envolvendo a divisão

a) Alguns alunos irão tender a querer realizar cortes em números que não são múltiplos de $10$, $100$, $1.000$,... mas que possuem zero entre os algarismos.
Exemplo:

Ao realizar a divisão $\cfrac {43.705}{20}$, faz o corte de zeros e calcula a divisão $\cfrac {4.375}{2}$.

Imagem cedida por um aluno.

b) Um erro ainda mais característico é acreditar que o "corte de zeros" pode ser realizado para outros algarismos.
Exemplo:

Ao realizar a divisão $\cfrac {27.638}{58}$, faz o corte do $8$. É um erro pouco comum, mas é percebido em exercícios de simplificação de frações.

c) Os alunos podem querer realizar simplificações (cortes) em que os termos de uma fração estão representados por adições ou subtrações e não se realiza simplificações a menos que numerador e denominador tenham um fator em comum. Este é um erro comum.

d) Outro erro comum, é realizar simplificações com fatores diferentes nos termos da fração.
Exemplo:

Dividir o numerador por $3$ e dividir o denominador por $2$.

e) E ainda um corte característico, que é o que se faz quando calculamos o mínimo múltiplo comum em uma igualdade e então dizemos que "denominadores iguais podem ser cortados", na verdade é aplicado o princípio multiplicativo de igualdade (princípio de equivalência).

Referência

CENTURIÓN, Marília. Jakubovic. Lellis. Novo Matemática na medida certa, 5ª série. Editora Scipione, São Paulo, 2003.