Artigos recentes

Navigation

Cuidado ao fazer generalizações, principalmente na Matemática!

Considerações a respeito da generalização em conteúdos matemáticos.
Generalização


Generalizações na matemática... Muito cuidado!

Generalização é uma dedução baseada na reunião de propriedade particulares que seu autor entende serem correlatas, que por inferência dá como resultado a atribuição dessas mesmas propriedades a objetos que esse mesmo autor entende serem similares.

A generalização em matemática é um modo de raciocinar, mas não se tem como válido, a menos que se possa provar; ou seja, assume-se uma verdade que ainda necessita de prova para ser válida. Assume-se determinada característica como própria do objeto, isso para utilizar-se de outras características, procurando a validade desta primeira.

Mais simples: Generalização é a ação de considerar para todos os casos uma propriedade observada em alguns casos particulares.

O importante é compreender, que não é errado assumir generalizações, desde que elas sejam comprovadas. O erro está em assumi-las como verdadeiras, sem uma base verificável. Vejamos dois exemplos sobre generalização para números primos e um exemplo sobre números pares.

Generalização 1)

$n^2 + n + 41$ é um número primo!

Considere a expressão algébrica $n^2 + n + 41$, com $n$ representando um número natural.
Para $n = 0 \Rightarrow 0^2 + 0 + 41 = 41$,
Para $n = 1 \Rightarrow 1^2 + 1 + 41 = 43$,
Para $n = 2 \Rightarrow 2^2 + 2 + 41 = 47$,
Para $n = 3 \Rightarrow 3^2 + 3 + 41 = 53$,
Para $n = 4 \Rightarrow 4^2 + 4 + 41 = 61$,
Para $n = 5 \Rightarrow 5^2 + 5 + 41 = 71$,
Para $n = 6 \Rightarrow 6^2 + 6 + 41 = 83$,
Para $n = 7 \Rightarrow 7^2 + 7 + 41 = 97$,
$\vdots$
Para $n = 39 \Rightarrow 39^2 + 39 + 41 = 1.601$,


Observe que para $n = 1$ a $n = 39$, o número $n^2 + n + 41$ é primo. Assim muitos poderiam afirmar que, para qualquer número natural $n$, $n^2 + n + 41$ é primo.

Mas se calcularmos este número para $n = 40$ temos, $40^2 + 40 + 41 = 1.681$ e $1.681$ é múltiplo de $41$ $(\frac {1.681}{41}=41)$.

Portanto, o número $n^2 + n + 41$ não é primo, pois, por exemplo, para $n = 40$ temos como divisores ($1$, $41$ e $1681$).

Esse exemplo mostra claramente que é perigoso generalizar um resultado ou uma propriedade com base apenas em alguns casos particulares.


Generalização 2)

$f_n$, para $n = 0, 1, 2, ... $ são números primos, e é $f_n = {2^2}^n + 1$. Observe que, realmente, $f_n$ é primo para $n = 0$, $1$, $2$, $3$ e $4$:
$f_0 = {2^2}^0 + 1 = 3$,
$f_1 = {2^2}^1 + 1 = 5$,
$f_2 = {2^2}^2 + 1 = 17$,
$f_3 = {2^2}^3 + 1 = 257$,
$f_4 = {2^2}^4 + 1 = 65.537$.

Fermat conjecturou que todos os $f_n$ fossem primos, para qualquer $n$ natural. No entanto, ele se enganou, pois o matemático Leonhard Euler (1707-1783) verificou, um século mais tarde, que para $n = 5$, $f_5 = {2^2}^5 + 1 = 4.294.967.297$e que $4.294.967.297$ é divisível por $641$ $(\frac{4.294.967.297}{641}= 6.700.417)$ e assim mostrou que $f_n$ não exprime apenas números primos; e mais, não foi encontrado, até então, outro número primo para $n > 4$ em $f_n$.

Generalização 3)

A adição de dois números naturais ímpares é sempre um número par

Essa é uma generalização verdadeira. Vamos verificar?
Observe nas adições de dois números naturais ímpares a seguir:
$3 + 5 = 8$
$7 + 7 = 14$
$1 + 29 = 30$,

É fácil fazermos uma conjectura de generalização: a soma de dois números naturais ímpares é sempre um número par.

A veracidade de uma generalização só pode ser comprovada com a sua demonstração. No exemplo, tomemos para n e m números naturais quaisquer.

Observe que $p = 2n + 1$ e $q = 2m + 14$ são números ímpares, então somemos $p$ e $q$:
$p + q = (2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2(m + n + 1)$.

Verifique que $p + q$ (soma de dois números naturais ímpares) é um produto de $2$ e todo número natural produto de $2$ é par, então $p + q$ é par.

Neste caso, a generalização foi verificada e validada!

Recomendação 

Ao pesquisar a temática deste post encontrei um bom trabalho que trata de Álgebra e Generalização, vale ler.

* As notações que aqui surgem estão baseadas nos artigos originais de referência.


Referências

[1] DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Projeto Teláris. Editora Ática. 8º ano. São Paulo, 2012.

Charles Bastos

Comente este artigo:

6 comentários:

  1. Oi! Quero te desejar Feliz Ano Novo atrasado e dizer que pode pegar o selo sim. Fique à vontade. Ah,adorei o novo layout, está bem melhor.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Obrigado Erica...
      Retorne sempre. Espero que encontre algum texto para leitura!
      A mudança é bem culpa de um colega (Romirys).

      Excluir
    2. Só dei uma ajudinha rsrsrs. Vlw pela publicação Charles, muito boa e com um tema bem importante para nós professores de matemática.

      Att, Romirys Cavalcante

      Excluir
    3. Rapaz... Deixa de modéstia! Ficou bem mais limpo e leve.
      Como tenho dito, continue com essa vontade e aprendendo. Firme em seus projetos!
      Muito obrigado.

      Excluir
  2. Olá, Charles!

    Que artigo ótimo de ser lido.

    Ele serve como um alerta para professores de Matemática, que eventualmente comentem esse tipo de erro. Ensinando errado, seus alunos aprenderão errado também. E talvez possam se tornar jovens professores ensinando errado.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Oi, Edigley!

      Que bom que você gostou do artigo.

      Presenciamos muitos isso e precisamos nos atentar sempre para não incorrermos em erros assim. Por vezes, apenas reproduzimos aquilo que aprendemos, e esses pequenos erros (mas que fazem muita diferença) continuam vivos.

      Excluir