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Critérios de divisibilidade por qualquer número primo maior que 11

Artigo do Prof. Sebá com regras para divisão por números primos maiores que 11.
Já que existem critérios de divisibilidade por $3$, $5$, $7$, e $11$, o presente trabalho tem como objetivo mostrar uma regra de divisibilidade (ou Regra de Sebá) por qualquer número primo maior que $11$. Já que existem as calculadoras, o trabalho não traz nenhuma contribuição prática para os leitores (ou alunos). Se o trabalho tivesse sido escrito numa época em que não existiam as calculadoras, com certeza, seria uma grande contribuição ao ensino da matemática. Escrevi o trabalho apenas como curiosidade.

Critérios de divisibilidade por qualquer número primo maior que 11

Seja $N$ o número dado e verificar se $N$ é divisível por um número primo $p > 11$. 

Passo 1: Se $p$ terminar em $3$, $7$ ou $9$, multiplique $p$, respectivamente, por $7$, $3$ e $9$, subtraia $1$ e divida a diferença por $10$; Se $p$ terminar em $1$, subtraia $1$ de $p$ e divida a diferença por $10$. Ambos os quocientes vamos designar por $y$. 

Passo 2: Multiplique $y$ pelo último algarismo de $N$ e subtraia de $N$ sem o último algarismo. Se a diferença for grande, de tal maneira que não seja possível reconhecer facilmente se é divisível por $p$, repete-se o processo até que seja possível reconhecer facilmente a divisão por $p$. 

Observação: Se o último algarismo da diferença vezes $y$ for maior que o número sem o último algarismo, encerra-se o processo, e verifica se a diferença é divisível por $p$. 

Fórmulas Para Critérios de Divisibilidade 

1º) $y = \cfrac {(p -1)}{10}$ (se p terminar em $1$)

2º) $y = \cfrac {(7p -1)}{10}$ (se p terminar em $3$)

3º) $y = \cfrac {(3p -1)}{10}$ (se p terminar em $7$)

4º) $y = \cfrac {(9p -1)}{10}$ (se p terminar em $9$)

Exemplos

Exemplo 1: Verificar se $N = 28.561$ é divisível por $p = 13$.

Passo 1: Como $p$ termina em $3$, vamos utilizar a 2ª fórmula: $y = \cfrac {(7p -1)}{10} = \cfrac {(7 \cdot 13 -1)}{10}= 9 $

Passo 2: Vamos chamar de $u$ o último algarismo do número $N$. Desta forma, para o $N = 28.561$, teremos $u = 1$. Assim, multipliquemos $y$ por $u$, obtém-se:
$y \cdot u = 9 \cdot 1 = 9$

Agora, tomemos o número $N$ sem o último algarismo e subtraíamos deste, o resultado de $y \cdot u$, obtendo:
$2.856 - 9 = 2.847$
(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo de $N$ vezes $y$) $=$ diferença.

Como $2.847$ ainda é um número grande, repetimos o processo:
$284 - 63 = 221$
(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo de $N$ vezes $y$) $=$ diferença.

Como $221$ ainda é um número grande, repetimos o processo:
$22 - 9 = 13$
(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo de $N$ vezes $y$) $=$ diferença.

Como a diferença é divisível por $13$, logo, $28.561$ é divisível por $13$. 

O curioso é que as diferenças $2.847$ e $221$ são divisíveis por $13$:
$\cfrac {2.847}{13} = 219$ e $\cfrac {221}{13} = 17$

Exemplo 2: Verificar se $N = 12.167$ é divisível por $p = 23$. 
Passo 1: como $p$ termina em $3$, use a 2ª fórmula:
$y = \cfrac {(7p -1)}{10}= \cfrac {(7 \cdot 23 - 1)}{10} = 16$

Passo 2: Chamemos de $u$ o último algarismo do número $N$. Desta forma, para o $N = 12.167$, teremos $u = 7$. Assim, multiplicando $y$ por $u$, obtém-se:
$y \cdot u = 16 \cdot 7 = 112$.

Agora, tomemos o número $N$ sem o último algarismo e subtraíamos $112$ dele, obtém-se:
$1.216 - 112 = 1.104$.
(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo de $N$ vezes $y$) $=$ diferença.

Como $1.104$ ainda é um número grande, repitamos o processo:
$110 - 64 = 46$
(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo de $N$ vezes $y$) $=$ diferença.

Como o último algarismo da diferença é $6$ e $y = 16$, logo $6y = 6 \cdot 16 = 96 > 4$ (número sem o último algarismo). Encerra-se o processo. Já que $46$ é divisível por $23$, logo $12.167$ é divisível por $23$. Caso repetíssemos o processo com a diferença $46$, teríamos:
$4 - 96 = - 92$.
(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo vezes $16$) $=$ diferença.

A diferença $– 92$ também é divisível por $23$, mas aumentamos o tempo computacional, acrescentando mais uma operação. 

Dispositivo Prático: 
$12.167$ (descarta o último algarismo) $-$ $112$ (último algarismo vezes $16$) $= 1.104$
$1.104$ (descarta o último algarismo) $-$ $64$ (último algarismo vezes $16$) $= 46$


Exemplo 3: Verificar se $N = 923.521$ é divisível por $p = 31$. 

Passo 1: Como $p$ termina em $1$, usaremos a 1ª fórmula:
$y = \cfrac {(p-1)}{10} = \cfrac {(31 -1)}{10}=3$.

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:
Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.
$923.521 - 3 = 92.349$
$92.349 - 27 = 9.207$
$9.207 - 21 = 899$
$899 - 27 = 62$
$62 - 6 = 0$

Como a diferença é divisível por $31$, logo, $923.521$ é divisível por $31$. 


Exemplo 4: Verificar se $N = 68.921$ é divisível por $p = 41$. 

Passo 1: como $p$ termina em $3$, usaremos a 1ª fórmula:
$y = \cfrac {(p-1)}{10}= \cfrac{(41 -1)}{10}=4$

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:
Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.
$68.921 - 4 = 6.888$
$6.888 - 32 = 656$
$656 - 24 = 41$

Como a diferença é divisível por $41$, logo, $68.921$ é divisível por $41$. 


Exemplo 5: Verificar se $N = 83.521$ é divisível por $p = 17$. 

Passo 1: Como $p$ termina em $7$, usaremos a 3ª fórmula:
$y = \cfrac{(3p -1)}{10}= \cfrac{(3 \cdot 17 -1)}{10}=5$.

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:
Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.
$83.521 - 5 = 8.347$
$8.347 - 35 = 799$
$799 - 45 = 34$

Como o último algarismo da diferença é $4$ e $y = 5$, logo, $4 \cdot 5 = 20 > 3$. Encerra-se o processo. Já que $34$ é divisível por $17$, logo, $83.521$ é divisível por $17$. Caso repetíssemos o processo, teríamos:
$34 - 20 = - 17$

A diferença $–17$ também é divisível por $17$, mas aumentamos o tempo computacional. 


Exemplo 6: Verificar se $N = 50.653$ é divisível por $p = 37$. 

Passo 1: Como $p$ termina em $7$, usaremos a 3ª fórmula:
$y = \cfrac{(3p - 1)}{10}= \cfrac {(3 \cdot 37 - 1)}{10}=11$.

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:
Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.
$50.653 - 33 = 5.032$
$5.032 - 22 = 481$
$481 - 11 = 37$

Como a diferença $37$ é divisível por $37$, logo, $50.653$ é divisível por $37$. 


Exemplo 7: Verificar se $N = 130.321$ é divisível por $p = 19$. 

Passo 1: Como $p$ termina em $9$, utilizaremos a 4ª fórmula:
$y = \cfrac {(9p - 1)}{10}= \cfrac {(9 \cdot 19 - 1)}{10} = 17$.

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:
Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.
$130.321 - 17 = 13.015$
$13.015 - 85 = 1.216$
$1.216 - 102 = 19$

Como a diferença $19$ é divisível por $19$, logo, $130.321$ é divisível por $19$. 


Exemplo 8: Verificar se $N = 707.281$ é divisível por $p = 29$. 

Passo 1: Como $p$ termina em, use a 4ª fórmula:
$y = \cfrac{(9p - 1)}{10} = \cfrac {(9 \cdot 29 -1)}{10} = 26$.

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:
Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.
$707.281 - 26 = 70.702$
$70.702 - 52 = 7.018$
$7.018 - 208 = 493$
$493 - 78 = - 29$

Como a diferença $– 29$ é divisível por $29$, logo, o número $707.281$ é divisível por $29$. Note que o último algarismo da 3ª diferença é $3$ e $y = 26$, logo: $3 \cdot 26 = 78 > 49$. Deveríamos encerrar o processo.

Se tivéssemos encerrado o processo na terceira diferença, teríamos que verificar se $29$ divide $493$. Sem calculadora gastaríamos mais tempo na divisão do que subtrair $78$ de $49$. Foi por isso que continuamos o processo.


Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br

Charles Bastos

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2 comentários:

  1. Olá, Charles!

    Gosto muito dos artigos que Sebá escreve. Não sei porque ele não tem um blog. Quanto ao artigo, indicarei aos meus alunos como fonte de pesquisa e ajuda.

    Um abraço!

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    Respostas
    1. Olá, Edigley!

      Gostei muito deste artigo. Não conhecia o procedimento. Sempre propunha os alunos a realizarem a divisão. Este ano não terei a oportunidade de repassar aos alunos (estou em licença para estudos), mas deixarei como dica à uma professora colega.

      Que ótimo saber que você irá indicá-lo.

      Até breve!

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