Funções e transformações trigonométricas no Excel

Esta planilha é uma complementação da planilha sobre Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo. Nela tratamos de algumas funções trigonométricas e transformações trigonométricas.

O trabalho ao organizar esta planilha foi um pouco maior, algumas das codificações utilizaram relações diferentes das fórmulas estudadas.

Não se trata de uma planilha muito usual para testes e estudo, como algumas outras já construídas. É mais para a verificação de cálculos; o que uma calculadora científica faz facilmente.

Foram realizados vários testes para ângulos variando de $0º$ a $360º$, mas pelo grande número de codificação, pode haver alguma falha. Percebido algo erro de codificação, por favor, retorne aqui mesmo no post.

Confira também as outras postagens e arquivos de planilhas no Excel daqui do blog.

As funcionalidades

Nesta planilha o usuário irá indicar o ângulo desejado e serão apresentados:

# os resultados das funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente.

# os resultados de algumas transformações trigonométricas: 

• $\sin {(a + b)} $
• $\sin {(a - b)} $
• $\cos {(a + b)} $
• $\cos {(a - b)} $
• $\tan {(a + b)}$
• $\tan {(a - b)}$
• $\sin{2a}$
• $\cos{2a}$
• $\tan {2a}$
• $\sin{a} + \sin{b}$
• $\sin{a} + \sin{b}$
• $\cos{a} + \cos{b}$
• $\cos{a} - \cos{b}$

E ainda mostra os gráficos para as funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente.

Apesar destas funcionalidades, ela não permite muita manipulação e por isso não é uma boa planilha para testes de possibilidades e de estudos.

A codificação

Optei por não adicionar as codificações da planilha neste post por duas questões: #1 parte da codificação está sendo interpretada como html e tem alterado a configuração do post, não mostrando a codificação correta e #2 o post ficaria mais pesado se, por exemplo, transformasse os códigos em imagem. Mas as codificações podem ser vistas facilmente nas células de retornos (resultados), destacadas em rosa na planilha.

Os gráficos foram construídos a partir dos cálculos de cada uma destas funções para ângulos no intervalo de $0º$ a $360º$ em uma tabela oculta na planilha.

O Curioso é que algumas das funções não estão definidas para alguns ângulos; nestas situações os gráficos no Excel, acabam por unir a curva com um segmento de reta, pra que esse segmento de reta não apareça, foi necessário retirar um valor antes e um valor depois do que não está definido na função; por exemplo, a tangente não está definida para o ângulo $90º$, já que tangente = seno/cosseno, e cosseno de $90º$ é Zero (não há divisão por zero), então foram retirados os resultados para os ângulos $89º$ e $91º$ e assim a curva perde parte de sua extensão em y, mas não apresenta continuidade neste ponto.

As codificações para estas fórmulas não seguiu a escrita matemática convencional, pois isso demandaria maior codificação para contemplar as fórmulas como elas estão apresentadas a seguir, devido às particularidades de cada função. Procure perceber a diferença entre a codificação e a fórmula matemática em cada uma destas funções conferindo as fórmulas aqui no post e a codificação na planilha.

Estas fórmulas da adição são válidas para arcos a e b positivos, do primeiro quadrante - $0º$ a $90º$ - cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante.

$\sin{(a + b)}= \sin{a} \cdot \cos{b} + \sin{b} \cdot \cos{a}$

$\sin{(a - b)}= \sin {a} \cdot \cos{b} - \sin{b} \cdot \cos{a}$

$\cos{(a + b)}= \cos{a} \cdot \cos{b} - \sin{a} \cdot \sin{b}$

$\cos{(a - b)}= \cos{a} \cdot \cos{b} + \sin{a} \cdot \sin{b}$

$\tan{(a + b)}= \cfrac{\tan{a} + \tan{b}}{1- \tan{a} \cdot \tan{b}}$

$\tan{(a - b)}= \cfrac {\tan {a}- \tan{b}}{1+ \tan{a} \cdot \tan{b}}$

Estas fórmulas são válidas para para a soma de dois arcos quando eles têm a mesma medida; são ditas fórmulas do arco duplo.
$\sin{2a}= \sin{(a + a)} = \sin{a} \cdot \cos{a}+ \sin{a} \cdot \cos{a} = 2 \cdot \sin{a} \cdot \cos{a}$

$\cos{2a}= \cos{(a + a)}= \cos{a} \cdot \cos{a} - \sin{a} \cdot \sin{a}= \cos^2{a} - \sin^2{a}$

$\tan{2a}= \tan{(a + a)}= \cfrac{\tan{a}+ \tan{a}}{1- \tan{a} \cdot \tan{a}}= \cfrac{2 \cdot \tan{a}}{1 - \tan^2{a}}$

As fórmulas a seguir são de transformação em produto, ou seja, a forma fatorada das expressões.

$\sin{a} + \sin{b}= 2 \cdot \sin{\cfrac{a+b}{2}} \cdot \cos{\cfrac{a - b}{2}}$

$\sin{a} - \sin{b}= 2 \cdot \sin{\cfrac{a-b}{2}} \cdot \cos{\cfrac{a + b}{2}}$

$\cos{a} + \cos{b} = 2 \cdot \cos{\cfrac{a + b}{2}} \cdot \cos{\cfrac{a - b}{2}}$

$\cos{a} - \cos{b}= - 2 \cdot \sin{\cfrac{a + b}{2}} \cdot \sin{\cfrac{a - b}{2}}$

Download

A planilha está disponível para download a partir dos servidores abaixo. Caso queira editar, implementar ou conferir algumas funções da planilha, a senha de desbloqueio é a sequência de 1 a 6.

• Arquivo originado em: Microsoft Office Excel 2010.

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Referência

[1] GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. Editora FTD. São Paulo, 1994.