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Que tal reduzir procedimentos de cálculos básicos com critérios de divisibilidade?

Os critérios de divisibilidade são muito importantes em praticamente todos os cálculos básicos.
Na primeira semana de aula, descrevendo sobre conjuntos numéricos numa turma de 9º ano, quando do conjunto dos números racionais, comecei a recordar algo sobre os critérios de divisibilidade [conteúdo programático a partir do 6º ano na escola daqui] e um aluno vindo de outra escola disse nunca ter visto o conteúdo e me pediu algo mais a respeito.

Que tal reduzir procedimentos de cálculos básicos com critérios de divisibilidade?

É comum alunos dizerem nunca terem "visto" vários conteúdos e isso ocorre... Pensei em organizar algo sobre os critérios de divisibilidade aqui no blog, pois eles auxiliam no "encurtamento de procedimentos de cálculos básicos". Alguns momentos na matemática em que utilizamos os critérios de divisibilidade envolvem divisores, divisão, resto de divisão, operações com frações, $mmc$, $mdc$, números primos, cálculos com operações básicas, etc.

Critérios de Divisibilidade

Existem algumas regras que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número natural é divisível por outro número natural. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Seguem algumas regras:

Divisibilidade por 2


Um número é divisível por $2$ quando termina em $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$, ou seja, quando é par.
Exemplos:
a) $536$ é divisível por $2$ pois termina em $6$.
b) $243$ não é divisível por $2$ pois termina em $3$.

Divisibilidade por 3


Um número é divisível por $3$ quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por $3$.
Exemplos:
a) $267$ é divisível por $3$, porque a soma: $2 + 6 + 7 = 15$ é divisível por $3$.
b) $2.538$ é divisível por $3$, porque a soma: $2 + 5 + 3 + 8 = 18$ é divisível por $3$.
c) $1.342$ não é divisível por $3$, porque a soma: $1 + 3 + 4 + 2 = 10$ não é divisível por $3$.

Divisibilidade por 4


Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por $4$.
Exemplos:
a) $500$ é divisível por $4$ porque seus dois últimos algarismos são zero.
b) $732$ é divisível por $4$ porque o número $32$ é divisível por $4$.
c) $813$ não é divisível por $4$ porque $13$ não é divisível por $4$.

Divisibilidade por 5


Um número é divisível por $5$ quando termina em $0$ ou em $5$.
Exemplos:
a) $780$ é divisível por $5$ porque termina em $0$.
b) $935$ é divisível por $5$ porque termina em $5$.
c) $418$ não é divisível por $5$ porque não termina em $0$ ou $5$.

Divisibilidade por 6


Um número é divisível por $6$ quando é divisível por $2$ e por $3$.
Exemplos:
a) $312$ é divisível por $6$ porque é divisível por $2$ e por $3$.
Ele é par (termina em $2$) e a soma de seus algarismos é um produto de $3$ ($3 + 1 + 2 = 6$)
b) $724$ não é divisível por $6$ pois, apesar de ser divisível por $2$, não é divisível por $3$.
Confira: $7 + 2 + 4 = 13$.

Divisibilidade por 8


Um número é divisível por $8$ quando os três últimos algarismos são zeros ou quando o número formado pelos três últimos algarismos é um produto de $8$.
Exemplos:
a) $3.000$ é divisível por $8$, pois os $3$ últimos algarismos são zeros.
b) $1.236$ não é divisível por $8$, pois os $3$ últimos algarismos não forma um produto de $8$.

Divisibilidade por 9


Um número é divisível por $9$ quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por $9$.
Exemplos:
a) $2.538$ é divisível por $9$ porque a soma: $2 + 5 + 3 + 8 = 18$ é divisível por $9$.
b) $7.562$ não é divisível por $9$ porque a soma: $7 + 5 + 6 + 2 = 20$ não é divisível por $9$.

Divisibilidade por 10


Um número é divisível por $10$ quando o seu último algarismo é zero.
Exemplo:
$36.290$ é divisível por $10$ porque termina em zero.

Divisibilidade por 7


Este critério é trabalhoso e por isso não é um bom critério se a intenção e reduzir procedimentos de cálculo e obter raciocínio lógico mais rápido; mas veja como se desenvolve este critério:

Um número é divisível por $7$ se a diferença entre "o número formado pelos algarismos do número original sem o último algarismo" e o "dobro do último algarismo do número original" é um número divisível por $7$. Caso o número originado na diferença descrita ainda for grande, faz-se novamente o procedimento, até que se confirme a divisão ou não por $7$.
Exemplo:
O número $164.192$ é divisível por $7$?
Procedimento 1:
$16.419$ (número sem o último algarismo)
$2 \cdot 2 = 4$ (dobro do último algarismo)
$16.415$ (diferença). Observe que a diferença é um produto de $7$ e portanto divisível por $7$, mas é um número ainda grande.

Procedimento 2:
$1.641$ (número sem o último algarismo)
$5 \cdot 2 = 10$ (dobro do último algarismo)
$1.631$ (diferença). Observe que a diferença é um produto de $7$ e portanto divisível por $7$, mas novamente ainda é um número grande.

Procedimento 3:
$163$ (número sem o último algarismo)
$1 \cdot 2 = 2$ (dobro do último algarismo)
$161$ (diferença). Observe que a diferença é um produto de $7$ e portanto divisível por $7$, agora o número já é razoável, mas faremos o procedimento mais uma vez.

$16$ (número sem o último algarismo)
$1 \cdot 2 = 2$ (dobro do último algarismo)
$14$ (diferença). Veja que $14 = 2 \cdot 7$, e então afirmamos que o número $164.192$ é divisível por $7$.

# A divisão de $164.192$ por $7$ resulta $23.456$.


Outros critérios de divisibilidade


Existem critérios de divisibilidade para vários outros números. Seria interessante estudá-los. Costumo ensinar aos alunos apenas os critérios de $2$ a $9$, os demais são como dica para estudos independentes. Abaixo estão relacionadas algumas sugestões de leitura sobre estes e outros critérios de divisibilidade.

Sugestões de leitura sobre critérios de divisibilidade


[1] Critério de divisibilidade por qualquer número primo maior que $11$. Artigo disponível no blog enviado pelo professor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá).

[2] Critérios de Divisibilidade. [Escola de Mestres. Prof. Cesar Ribeiro]. Confira alguns lemas a respeito da divisibilidade.

[3] Divisibilidade. [site Matemática Muito Fácil]. Vale conferir os critérios de divisibilidade por 4, 6 e 8, diferentes dos apresentado neste post.

[4] Divisibilidade. Disponibiliza divisibilidade para os critérios aqui demonstrados e para divisibilidades por 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.


Recomendação

Esta última seção foi adicionada a partir da observação de um ótimo vídeo com dicas de como realizar procedimentos de "cálculo mental". A recomendação do vídeo "Cálculo Mental" vem do Canal MatemáticaRio. Vale conferir este e vários outros vídeos! Corre lá!


Charles Bastos

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4 comentários:

  1. Somente para quem não sofra de preguiça mental.
    Para verificar rapidamente a divisibilidade por sete de N = a.bcd proceda da seguinte forma:
    1 - Elimine cd,
    2 - Calcule a diferença entre cd e o múltiplo de sete imediatamente superior,
    3 - Adicione o resultado ao dígito "a" e subtraia do resultado o múltiplo de sete imediatamente inferior (se necessário) para obter a'.
    4 - Se a'b for múltiplo de 7 então a.bcd também o é.
    Exemplo: N = 1.561; 61 para 63 = 2, 2 + 1 = 3 → 35; 7|35 e 7|N
    Para números maiores é necessário repetir o procedimento até ser alcançado o último par de dígitos à esquerda; se o último par for incompleto, considere a = 0.
    Esse procedimento funciona rapidamente para verificar a divisibilidade por 7, 11 e 13 de números de qualquer extensão.

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    1. Olá Silvio!

      Mais um exemplo de procedimento na verificação de divisibilidade. Legal!

      Creio ter compreendido o procedimento, mas não fica correto a escrita $61$ para $63=2$.

      Você tem a demonstração que valida este procedimento para um número com n dígitos (algarismos)?

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    2. A aplicação desta regra elimina os dois dígitos finais do número testado repetitivamente até que o número testado seja reduzido a um número de dois dígitos. Em cada aplicação, com a eliminação dos dois dígitos finais, é preservado o valor do número inicial em módulo sete porque:

      N = a.bcd; a' = − cd mod 7 + a; se 7|a'b então 7|N

      − cd mod 7 ≡ 6cd

      Então cd é subtraído de N e 6cd são adicionados à casa da unidade de milhar de N.

      Como 6.000 cd − cd = 5.999 cd e 7|5.999 cd, o procedimento preserva o valor do número testado em módulo sete em cada aplicação, independentemente do número de vezes que o procedimento seja aplicado. Desta maneira, a regra é válida para números de qualquer magnitude.

      Observação importante: É necessário substituir os dígitos eliminados por zeros para a confirmação de que o valor do número testado em módulo sete é preservado quando o número testado não for divisível por sete.

      Utilizo a linguagem comum para facilitar a aplicação da regra. Quando digo 61 para 63 é igual a 2 estou me referindo ao inverso aditivo módulo 7 de 61: − 61 mod 7 ≡ 2.

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    3. Conheço das congruências, existem várias proposições que facilitam encontrar o resto de divisões. É muito interessante o conteúdo, estudei sobre ele novamente no final do ano passado, mas pela proposta que indiquei, que é de nível básico, não creio que seja tão fácil a assimilação pelos alunos; até porque, infelizmente, nossos alunos cada dia querem menos ou o que querem não é estudar e aprender.

      Ainda gostaria da demonstração que lhe pedi a respeito da validade para n dígitos. Mais a frente pode ser que escreva algumas postagens com problemas envolvendo o uso desta parte da Aritmética!

      Obrigado por se atentar à postagem! Até breve.

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