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Use o Excel para apresentar uma introdução sobre Limites

Evidencie o conceito matemático de limite com aproximações em tabelas e gráficos, usando planilhas confeccionadas no Excel.
Esta planilha confeccionada no Excel, foi idealizada após a leitura de um artigo, parte de um projeto de ensino do site destacado abaixo. É mais uma proposta de se trabalhar matemática aliada a recursos tecnológicos de modo a proporcionar melhor ensino e aprendizagem. 

Limites

A noção de limite em matemática está relacionada com os valores que uma função $f(x)$ pode assumir, quando seu domínio se aproxima de determinado valor $x$, com valores superiores ou inferiores a ele. Acompanhe mais sobre limites, no curso "Como aprender cálculo diferencial e integral" no site Vivendo entre Símbolos e obtenha melhor entendimento sobre a definição matemática de limite.
Seja $f$ uma função definida sobre um intervalo aberto que contém o número $a$, exceto possivelmente o próprio $a$. Dizemos que o limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $a$ é $L$, e escrevemos $\lim _{ x\rightarrow a }{f(x)} = L$, se para todo $\varepsilon >0$, existe um $ \delta > 0$ tal que $0<\left| x-a \right| <\delta \quad \Longrightarrow \quad \left| f(x)-L \right| <\varepsilon$.
Use o Excel para apresentar uma introdução sobre Limites

Comumente ao se iniciar o estudo sobre limites, as funções utilizadas como exemplos são do tipo polinomial simples, e então, posteriormente passa-se para funções mais elaboradas como funções com indeterminações (raiz par, fracionárias), funções logarítmicas, exponenciais ou trigonométricas.

O uso de planilhas no Excel no momento inicial de estudos para identificar variações de $f(x)$ em valores e no gráfico dos valores de $f(x)$, numa região próxima ao valor a que tende $x$ pode colaborar para melhor visualização do conceito de limite.

É claro que isso pode ser feito diretamente no quadro, esboçando-se uma tabela, realizando os cálculos, verificando a aproximação ou não de $f(x)$ para determinado valor e observando o comportamento gráfico desta função; mas o uso do Excel neste momento, é bastante útil, pois reduz a espera de visualização do resultado desejado, eliminando o momento de cálculos, que comumente é um procedimento esperado já conhecido do aluno a este nível de ensino e aprendizagem.

As planilhas no Excel


As planilhas seguem o mesmo padrão de criação de outras planilhas já criadas e disponibilizadas aqui no blog. O destaque para a primeira planilha é quanto à tabela relacionada ao gráfico, se serve para evidenciar a aproximação ou afastamento dos valores assumidos pela função, quando se aproxima de $x$, com valores inferiores ou superiores.

É perfeitamente possível esboçar tabelas e gráficos para outros tipos de funções, bastando para isso, seguir o padrão da planilha disponibilizada para download, relacionando uma tabela e um gráfico, estipulando valores próximos de $x$ para a função específica em estudo. Para isso é preciso alterar a configuração do espaço reservado para entrada de dados (coeficientes e valor a que tende $x$) e a variação próxima à que tende $x$ na tabela. Mais a frente disponibilizarei algumas outras planilhas relacionadas a limite de outras funções específicas.

A entrada de dados é dada para os valores $a$, $b$, $c$, $d$ e $e$, coeficientes da função $f(x)$ que pode ser de um polinômio até de 4º grau e do valor ao qual $x$ se aproximará. O exemplo utilizado nas imagens para esta postagem é da função $f(x) = - 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 4x + 3$ e $x \rightarrow 2$. Estamos observado o $\lim _{ x\rightarrow 2 }{ (-2{ x }^{ 4 }+3{ x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }+4x+3) } $.

Use o Excel para apresentar uma introdução sobre limites

As configurações básicas estão nas colunas da tabela:

Use o Excel para apresentar uma introdução sobre limites

Perceba que o limite da função $f(x)$ quando $x$ tende a $2$, é $-5$, Isso pois os valores que aparecem na 2ª e na 4ª colunas se aproximam cada vez mais de $-5$.

1ª coluna:
O código utilizado para apresentar os valores na primeira coluna é dado por: =SE(\$F\$5="";"";\$F\$5-0,3), variando em cada célula exatamente o valor em destaque para $0,2$; $0,1$; $0,01$; $0,001$; $0,0001$;... fazendo com que $x$ fique cada vez mais próximo de $2$.

2ª coluna:
O código para gerar o valor de $f(x)$ utilizando o valor de $x$ da células na mesma linha da coluna anterior é dado por: =SE(\$F\$5="";"";\$C\$3*V9^4+\$F\$3*V9^3+\$I\$3*V9^2+\$L\$3*V9+\$O\$3).

3ª coluna:
O código utilizado nesta coluna é similar ao utilizado na 1ª coluna: =SE(\$F\$5="";"";\$F\$5+0,3), a única diferença é quanto ao sinal destacado. Aqui as aproximações de $2$ são com valores superiores a ele.

4ª coluna:
O código é o mesmo utilizado na 2ª coluna, mas referenciando-se aos valores de $x$ na =SE(\$F\$5="";"";\$C\$3*X9^4+\$F\$3*X9^3+\$I\$3*X9^2+\$L\$3*X9+\$O\$3)

É importante perceber que o gráfico apresentado é uma pequena parte do gráfico da função $f(x)$, mostrada numa região próxima do valor especificado para o qual $x$ tende (aproxima-se).

Use o Excel para apresentar uma introdução sobre limites

O gráfico foi confeccionado de modo similar ao indicado na postagem sobre trabalho de gráficos de funções em planilhas no Excel usando o tipo Dispersão.

O gráfico da função utilizada no exemplo para uma região mais amplas de valores de $x$ é do tipo:

Use o Excel para apresentar uma introdução sobre limites

Há uma segunda planilha no mesmo arquivo, que captura os valores dos coeficientes atribuídos na função da primeira planilha e esboça o gráfico da função para valores no intervalo $[x - 6, x + 6]$. No exemplo, como $x \rightarrow 2$,  temos $[2 - 6, 2 + 6]$ ou é, $[- 4, 8]$. Observe que este intervalo pode ser alterado manualmente, tomando-se o cuidado de deixar os números em ordem crescente de cima para baixo na coluna referente aos valores de $x$.

Perceba que a parte destacada evidencia o o intervalo de valores de $f(x)$ para valores próximo de $x = 2$ e que é mostrada no gráfico da primeira planilha.

Download


O arquivo com as planilhas utilizadas nesta postagem se encontra para download em um dos servidores a seguir. Para editar a planilha é preciso desbloqueá-la, a senha é a sequência de 1 a 6. 
  • Arquivo originado em: Microsoft Excel 2010.

Google Drive
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Box
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Charles Bastos

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2 comentários:

  1. Olá Charles!

    Sem dúvidas esse material que você disponibilizou, para quem está começando a aprender sobre limites agora, é muito importante e facilita bastante a compreensão do conteúdo, além de eliminar o trabalho de ter que fazer inúmeros cálculos para identificar a aproximação de uma função, tanto pela direita como esquerda, quando ela tende a um valor específico.

    Gostei muito da organização do conteúdo, parabéns. Obrigado pelo citação do curso de Cálculo que estou criando em meu blog, isso sem dúvidas é muito gratificante. Sucesso para o seu blog e até os próximos artigos.

    Romirys Cavalcante

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    Respostas
    1. Olá Romirys!

      Que bom que você gostou do material, pensei em organizar mais algumas planilhas, exemplificando funções com outras características. Possivelmente haverá outra postagem como continuação desta.

      O conteúdo que você está organizando é bom e já me ajudou com ideia para algumas postagens! Obrigado por prestigiar sempre o que tenho produzido.

      Charles.

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