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Notas sobre representações e geometria na história da Matemática

Parte de um capítulo da minha dissertação de Mestrado PROFMAT sobre Representações
Quem conta uma história procura fundamentá-la em documentos e fatos, inferindo interpretações sobre aquilo que toma como base e então amplia os registros acerca do assunto a que se propôs desenvolver. Baseado em referências bibliográficas, procurou-se descrever a respeito de fatos e registros de representações, mais especificamente em geometria na história da matemática.

Notas sobre representações e geometria na história da Matemática
A geometria nasceu como uma ciência empírica ou experimental. Na "confrontação" com o seu meio ambiente o Homem da Antiga Idade da Pedra chegou aos primeiros conhecimentos geométricos. O processo da aquisição pelo trabalho de imagens abstratas das relações espaciais entre os objetos físicos e as suas partes decorreu, primeiro, de uma forma extremamente lenta. Depois de ter sido reunido suficiente material factual respeitante às formas espaciais mais simples, tornou-se possível, sob condições sociais especiais, como, por exemplo, no Egito antigo, Mesopotâmia e China, sistematizar consideravelmente o material factual recolhido. Com isso começou a transformação da geometria de uma ciência empírica numa ciência matemática (...). [Gerdes, p.29]
Nas referências sobre a história da matemática percebe-se a falta de registros que comprovem a origem de inúmeros conhecimentos, há também a busca por fundamentar e relacionar fatos ocorridos em várias partes do mundo. Os registros matemáticos do concreto ocorriam em diversos materiais (paredes, pedras, papiros, fibras de árvores, tábulas de argila etc.) e acredita-se que muito disso se perdeu justamente por conta da qualidade do material utilizado.

A matemática foi sendo construída em diversas partes do mundo, remetendo um longo período desde antes dos primeiros registros até a sua estrutura atual. Percebe-se que não há uma continuidade única de evolução; um determinado conhecimento para a matemática surgia entre vários povos com diferentes finalidades e por vezes, ao mesmo tempo. 

É certo que quando vieram as primeiras representações, antes já haviam ao homem outros conhecimentos providos possivelmente pelo uso dos sentidos frente ao que lhe era próximo, como a associação a objetos reais, de conceitos e outras qualificações de uso, forma e tamanho. Tais associações apresentavam variações por conta, entre outros, de fatores ligados às características próprias dos diferentes povos. 

Notas sobre representações e geometria na história da Matemática

Conta-se que a matemática e seus diversos campos foram surgindo devido às condições e necessidades humanas. Howard Eves, relata que "inúmeras circunstâncias da vida, até mesmo do homem mais primitivo, levavam a um certo montante de descobertas geométricas subconscientes" e exemplifica uma série de outros conceitos possivelmente advindos da observação da natureza, de situações criadas ou da própria evolução humana, para este cenário nomeou-se "geometria subconsciente". No ensino de matemática, uma das referências históricas mais recorrentes é a de contagem com a associação $1$ para $1$ de um animal e alguma representação ou associação (seja com pedras, gravetos, marcas ou nós), como na Figura acima, presente em Dante [p.13], livro didático da 5ª série do Ensino Fundamental.

Um fato importante a respeito da evolução matemática, está ligado ao que destaca Mol [p.16], de que "o maior legado dessa civilização Mesopotâmia foi o desenvolvimento ... da forma de comunicação escrita mais antiga da humanidade: a escrita cuneiforme". Representar através da escrita, em placas de argila, deu à humanidade a possibilidade de se reconhecer, de reconhecer e participar da evolução do conhecimento matemático.

Muito tempo depois, já com posse de maior conjunto de ferramentas percebe-se que as representações deixariam de ser apenas sobre o real, mas fruto de uma combinação entre o real e a imaginação. Não haviam mais apenas problemas soltos a respeito das necessidades humanas, mas um conjunto de características que permitiam estruturar conhecimentos gerais sobre geometria. A matemática tinha agora outro campo, com linguagem própria que tratava de medidas e formas, não deixando de atender e de se nutrir das percepções e vivências dos povos, mas, através destes conhecimentos, passando a inferir sobre o meio, em que Howard Eves [p.27] indica por "geometria científica".

Howard Eves [p.27], evidencia ainda que "Por volta do ano 600 a.C., os gregos começaram a introduzir dedução na geometria", originando a "geometria demonstrativa" e que por um longo período, considerava-se apenas uma geometria, em que o espaço era concebido "como um domínio ou lugar no qual os objetos podiam se deslocar livremente e ser comparados uns com os outros". 

Não foi a primeira estruturação do conhecimento matemático em forma de livro, mas uma coleção matemática de grande importância foi Os Elementos, em que Euclides e certamente outros, contribuíram grandemente para a evolução do conhecimento matemático. Muniz Neto [p.2] diz que "A importância dos Elementos se deve ao fato de ser a primeira obra em que se considera um corpo de conhecimento matemático como parte de um sistema lógico dedutivo bem definido" e Mol [p.45-52] retrata, resumidamente, cada um dos livros que compunham a coleção:
Os primeiros quatro livros tratam de geometria plana elementar e estudam propriedades de figuras retilíneas e do círculo, abordando problemas cuja solução se faz com régua e compasso. O livro V aborda a teoria de proporções e o livro VI aplica essa teoria ao estudo de geometria. Os livros VII, VIII e IX versam sobre a teoria dos números. O livro X trata dos incomensuráveis e os livros XI, XII e XIII discorrem sobre geometria sólida. [Mol, p.46]
Por um longo período, a geometria esteve baseada no livro Os Elementos de Euclides. Roque e Carvalho, [p.122-124] retratam sobre algumas das muitas traduções de Elementos e de que apenas em 2009 houve a primeira edição completa na língua portuguesa, por Irineu Bicudo.

Notas sobre representações e geometria na história da Matemática

Mas, aos poucos a geometria ganhava conhecimentos e estudos voltados não só para o que se descreveu como "geometria primitiva", mas dentro de seu próprio campo de conhecimento; surgiam novas regras, novos modos de pensar sobre o espaço, e com o tempo, considerou-se a existência de mais de uma geometria. Por conta, por exemplo, do espaço agora ser "considerado uma coleção de pontos", as atenções se voltaram para "um grupo de transformações congruentes do espaço em si mesmo", a geometria se configura como "o estudo das propriedades das configurações de pontos que permanecem inalteradas quando o espaço circundante é sujeito a essas transformações". [Howard Eves, p.27]

Com o tempo, a geometria passou a ter outras definições, ou seja, ampliou-se em novos campos a ponto de propiciar novas geometrias, cada uma com linguagem própria e no final do século XIX, o conceito de axiomática formal permitiu que cada uma dessas geometrias se tornassem uma subárea específica da matemática. As representações em matemática, possibilitaram além da estruturação, uma nova forma de estudar o conhecimento, podendo ampliá-lo e até fundamentar, por exemplo, novas áreas em geometria

As representações começam a ganhar espaço com o Renascimento. Flores indica que
anteriormente o conhecimento do mundo e dos homens estava sob o poder das entidades religiosas, (...) com a descoberta da razão o sujeito do conhecimento passa a conhecer e a representar os objetos do conhecimento. A questão da representação passa, então, a ser problematizada enquanto expressão iconográfica da relação entre o sujeito do conhecimento e o objeto dado a conhecer, criando princípios da representação sob o aspecto de fundamento teórico, epistemológico. [Flores, p.116]

Há portanto, uma nova visão de mundo ao ponto que as ciências se propõem a construir mais conhecimentos sobre ele, a explicá-lo e então representar. A própria representação passa a ter maior ou novo destaque em várias áreas. Na matemática, deixa de ser a intuição geométrica e o discurso, referências para o conhecimento; o que se percebe é a presença de uma organização de signos que trás para o saber o que seria uma linguagem; os discursos e descrições em diferentes línguas (por conta de inúmeros povos e culturas) são traduzidos por uma uniformidade de símbolos e operações.

Referências

Dante, Luiz Roberto. Tudo é matemática, Ensino Fundamental. Ática, volume 1, São Paulo, (2005), pp. 296.

Eves, Howard. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula. Geometria, Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual. Volume 3, (2014), pp. 75.

Flores, Cláudia Regina. Olhar, Saber, Representar: Ensaios sobre a representação em perspectiva, Tese de doutorado. Santa Catarina, (2003), pp. 189.

Gerdes, Paulus. Etnogeometria: Cultura e o Despertar do Pensamento Geométrico, Reedição, Instituto Superior de Tecnologias e de Gestão (ISTEG), Moçambique, (2012), pp. 238.

Mol, Rogério Santos. Introdução à História da Matemática, Coleção EAD-MATEMÁTICA, Belo Horizonte, CAED-UFMG (2013), pp. 138.

Muniz Neto, Antonio Caminha. Geometria, SBM, Coleção PROFMAT, Volume único, 1ª Edição, Rio de Janeiro, (2013), pp. 502.

Roque, T.; Carvalho, J. B. P. Tópicos de História da Matemática, Coleção PROFMAT, SBM, 1ª Edição, Rio de Janeiro, (2012), pp. 450.

Charles Bastos

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