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Que tal reduzir procedimentos de cálculos básicos com critérios de divisibilidade?

Os critérios de divisibilidade são muito importantes em praticamente todos os cálculos básicos.
Na primeira semana de aula, descrevendo sobre conjuntos numéricos numa turma de 9º ano, quando do conjunto dos números racionais, comecei a recordar algo sobre os critérios de divisibilidade [conteúdo programático a partir do 6º ano na escola daqui] e um aluno vindo de outra escola disse nunca ter visto o conteúdo e me pediu algo mais a respeito.

Que tal reduzir procedimentos de cálculos básicos com critérios de divisibilidade?

É comum alunos dizerem nunca terem "visto" vários conteúdos e isso ocorre... Pensei em organizar algo sobre os critérios de divisibilidade aqui no blog, pois eles auxiliam no "encurtamento de procedimentos de cálculos básicos". Alguns momentos na matemática em que utilizamos os critérios de divisibilidade envolvem divisores, divisão, resto de divisão, operações com frações, $mmc$, $mdc$, números primos, cálculos com operações básicas, etc.

Critérios de Divisibilidade

Existem algumas regras que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número natural é divisível por outro número natural. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Seguem algumas regras:

Divisibilidade por 2


Um número é divisível por $2$ quando termina em $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$, ou seja, quando é par.
Exemplos:
a) $536$ é divisível por $2$ pois termina em $6$.
b) $243$ não é divisível por $2$ pois termina em $3$.

Divisibilidade por 3


Um número é divisível por $3$ quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por $3$.
Exemplos:
a) $267$ é divisível por $3$, porque a soma: $2 + 6 + 7 = 15$ é divisível por $3$.
b) $2.538$ é divisível por $3$, porque a soma: $2 + 5 + 3 + 8 = 18$ é divisível por $3$.
c) $1.342$ não é divisível por $3$, porque a soma: $1 + 3 + 4 + 2 = 10$ não é divisível por $3$.

Divisibilidade por 4


Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por $4$.
Exemplos:
a) $500$ é divisível por $4$ porque seus dois últimos algarismos são zero.
b) $732$ é divisível por $4$ porque o número $32$ é divisível por $4$.
c) $813$ não é divisível por $4$ porque $13$ não é divisível por $4$.

Divisibilidade por 5


Um número é divisível por $5$ quando termina em $0$ ou em $5$.
Exemplos:
a) $780$ é divisível por $5$ porque termina em $0$.
b) $935$ é divisível por $5$ porque termina em $5$.
c) $418$ não é divisível por $5$ porque não termina em $0$ ou $5$.

Divisibilidade por 6


Um número é divisível por $6$ quando é divisível por $2$ e por $3$.
Exemplos:
a) $312$ é divisível por $6$ porque é divisível por $2$ e por $3$.
Ele é par (termina em $2$) e a soma de seus algarismos é um produto de $3$ ($3 + 1 + 2 = 6$)
b) $724$ não é divisível por $6$ pois, apesar de ser divisível por $2$, não é divisível por $3$.
Confira: $7 + 2 + 4 = 13$.

Divisibilidade por 8


Um número é divisível por $8$ quando os três últimos algarismos são zeros ou quando o número formado pelos três últimos algarismos é um produto de $8$.
Exemplos:
a) $3.000$ é divisível por $8$, pois os $3$ últimos algarismos são zeros.
b) $1.236$ não é divisível por $8$, pois os $3$ últimos algarismos não forma um produto de $8$.

Divisibilidade por 9


Um número é divisível por $9$ quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por $9$.
Exemplos:
a) $2.538$ é divisível por $9$ porque a soma: $2 + 5 + 3 + 8 = 18$ é divisível por $9$.
b) $7.562$ não é divisível por $9$ porque a soma: $7 + 5 + 6 + 2 = 20$ não é divisível por $9$.

Divisibilidade por 10


Um número é divisível por $10$ quando o seu último algarismo é zero.
Exemplo:
$36.290$ é divisível por $10$ porque termina em zero.

Divisibilidade por 7


Este critério é trabalhoso e por isso não é um bom critério se a intenção e reduzir procedimentos de cálculo e obter raciocínio lógico mais rápido; mas veja como se desenvolve este critério:

Um número é divisível por $7$ se a diferença entre "o número formado pelos algarismos do número original sem o último algarismo" e o "dobro do último algarismo do número original" é um número divisível por $7$. Caso o número originado na diferença descrita ainda for grande, faz-se novamente o procedimento, até que se confirme a divisão ou não por $7$.
Exemplo:
O número $164.192$ é divisível por $7$?
Procedimento 1:
$16.419$ (número sem o último algarismo)
$2 \cdot 2 = 4$ (dobro do último algarismo)
$16.415$ (diferença). Observe que a diferença é um produto de $7$ e portanto divisível por $7$, mas é um número ainda grande.

Procedimento 2:
$1.641$ (número sem o último algarismo)
$5 \cdot 2 = 10$ (dobro do último algarismo)
$1.631$ (diferença). Observe que a diferença é um produto de $7$ e portanto divisível por $7$, mas novamente ainda é um número grande.

Procedimento 3:
$163$ (número sem o último algarismo)
$1 \cdot 2 = 2$ (dobro do último algarismo)
$161$ (diferença). Observe que a diferença é um produto de $7$ e portanto divisível por $7$, agora o número já é razoável, mas faremos o procedimento mais uma vez.

$16$ (número sem o último algarismo)
$1 \cdot 2 = 2$ (dobro do último algarismo)
$14$ (diferença). Veja que $14 = 2 \cdot 7$, e então afirmamos que o número $164.192$ é divisível por $7$.

# A divisão de $164.192$ por $7$ resulta $23.456$.


Outros critérios de divisibilidade


Existem critérios de divisibilidade para vários outros números. Seria interessante estudá-los. Costumo ensinar aos alunos apenas os critérios de $2$ a $9$, os demais são como dica para estudos independentes. Abaixo estão relacionadas algumas sugestões de leitura sobre estes e outros critérios de divisibilidade.

Sugestões de leitura sobre critérios de divisibilidade


[1] Critério de divisibilidade por qualquer número primo maior que $11$. Artigo disponível no blog enviado pelo professor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá).

[2] Critérios de Divisibilidade. [Escola de Mestres. Prof. Cesar Ribeiro]. Confira alguns lemas a respeito da divisibilidade.

[3] Divisibilidade. [site Matemática Muito Fácil]. Vale conferir os critérios de divisibilidade por 4, 6 e 8, diferentes dos apresentado neste post.

[4] Divisibilidade. Disponibiliza divisibilidade para os critérios aqui demonstrados e para divisibilidades por 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.


Recomendação

Esta última seção foi adicionada a partir da observação de um ótimo vídeo com dicas de como realizar procedimentos de "cálculo mental". A recomendação do vídeo "Cálculo Mental" vem do Canal MatemáticaRio. Vale conferir este e vários outros vídeos! Corre lá!


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