Análise de gráficos de progressões aritméticas e geométricas [PA e PG] no Excel

Nesta segunda postagem sobre Progressões Aritméticas (P.A.) e Progressões Geométricas (P.G.), disponibilizamos uma planilha no Excel bem simples, que permite observar o comportamento gráfico para estes dois tipos de sequências.

No primeiro artigo "Progressão Aritmética [P.A.] e Progressão Geométrica [P.G.]", relaciono fórmulas de cálculos e códigos da planilha, que possibilita vários retornos sobre elementos presentes nas duas sequências.

Sequências

Sucessão ou sequência é todo conjunto em que consideramos os elementos dispostos em certa ordem.

A progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado diferença (razão) da progressão.

A progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da progressão.

Gráficos [P.A. e P.G.] no Excel

Os dois gráficos possíveis na planilha disponibilizada são para sequências finitas.

Para gerar os gráficos foram organizadas duas linhas de códigos copiadas para valores de $ n = \{ 1, 2, 3, ..., 15 \}$. A linha de codificação no Excel para gerar os pontos $(n, a_n)$ da progressão aritmética foi:
=SEERRO(SE(\$H\$4="";"";SE(\$D\$4="";"";\$D\$4+(B8-1)*\$H\$4));"")

Observe que apenas a célula B8 não está fixa, ela representa os valores de $n$, em branco na coluna B. Os valores apresentados na coluna C, são os resultados desta codificação e representam os 15 primeiros elementos da sequência. Estes elementos estão indicados no gráfico, unidos por segmentos para que se perceba o seu comportamento.

A linha de codificação no Excel para gerar o s pontos $(n, a_n)$ da progressão geométrica foi:

=SEERRO(SE(\$T\$4="";"";SE(\$P\$4="";"";\$P\$4*\$T\$4^(N8-1)));"")

Observe que o mesmo ocorre para a célula N8, única que não está fixa, por também representar os valores de $n$, em branco na coluna N. Os valores apresentados na coluna O, são os resultados desta codificação e representam os 15 primeiros elementos da sequência. Estes elementos estão indicados no gráfico, unidos por curvas para que se perceba o seu comportamento geométrico.

Cabe observar que a definição tanto de progressão aritmética quanto progressão geométrica, considera $n$ pertencente ao conjuntos dos números naturais (excluindo-se o zero).

Sejam quais forem os valores atribuídos para o primeiro termo e para a razão, a curva que liga os pontos representados pelos termos da progressão aritmética, será uma semirreta originada em $a_1$. Esta semirreta é crescente com $r > 0$, decrescente com $ r < 0 $ e constante com $ r = 0 $. A curva gerada para a combinação $(n, a_n)$ é sempre linear. Não há interferência nos termos da planilha.

Já o gráfico da progressão geométrica, para os valores apresentados no primeiro termo $a_1$ e na razão $q$, irá se comportar de formas diferentes, dependendo justamente destes dois valores. Antes cabe ressaltar que não há muito sentido em se utilizar a razão $q = 1$, pois ela não irá alterar o valor inicial da progressão, já que as duas operações que a envolvem resultam sempre em manter $a_1$ [produto por $1$ ou potência de base $1$].

A curva gerada pelos valores dos elementos da progressão geométrica, tomados como pontos $(n, a_n)$ terá comportamento exponencial; podendo ser crescente, decrescente, constante ou oscilante.

Sugestão de testes

Para a progressão aritmética, sugere-se que sejam feitos os testes para os termos $a_1$ e $r$:
(3; 0,5), (3; 1), (3; 5), (3; - 8), (3, -0,5). O termo $a_1$ não foi variado pois ele não interfere no comportamento da curva.

Para a progressão geométrica, sugere-se que sejam feitos os testes para os termos $a_1$ e $q$:
(2; 0,5), (2; 1), (2; 5), (2; - 8), (2, -0,5), (2, -0,8), (-2; 0,5), (-2; 0,8), (-2; 0,99),
(-2; 1), (-2; 5), (-2; - 8), (-2, -0,5). Nesta sugestão, é importante variar também $a_1$, pois o seu sinal irá interferir no comportamento da curva.

Download

A planilha no Excel está disponível para download a partir dos servidores abaixo. Caso queira editar, implementar ou conferir algumas funções da planilha no Excel, a senha de desbloqueio é a sequência de 1 a 6.

• Arquivo originado em: Microsoft Office Excel 2010.

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Confira também nossas outras planilhas no Excel, na página fixa que apresenta uma relação das planilhas disponibilizadas no blog.