Esta postagem é parte da coleção A Matemática em planilhas eletrônicas, que relaciona conteúdo matemático e sua representação em planilhas eletrônicas.
Antes de continuarmos, cabe a observação de diferenciar arredondamento de aproximação. Aqui, o arredondamento é realizado em números decimais (aquele com algarismos após a vírgula) e a aproximação é feita tanto com números decimais como com números inteiros (em que aproximamos para a dezena, centena, milhar,... mais próxima, seja para mais ou para menos). Neste artigo, trataremos apenas do arredondamento e em breve teremos um link específico para uma postagem sobre aproximações.
Existem algumas variações quanto as regras para se arredondar. Neste artigo você confere uma destas variações. Nas recomendações, indicamos outras variações de arredondamento que cabem ser verificadas.
A ABNT NBR 5891:2014, regulamenta normas para arredondamento. Até então, não obtive acesso ao site oficial (o acesso é pago) para verificar tais normas, mas tenho a versão anterior à atualização: ABNT NBR 5891:1977.
Na Matemática
- Truncamento
Uma das maneiras de se estabelecer o limite para o último algarismo de um número é realizar o truncamento, que nada mais é que ignorar todos os algarismos não desejados a partir de determinado algarismo.
Exemplos:
- Truncar o número $3,14159265358979...$, de modo que ele tenha $3$ algarismos na parte decimal, significa que este número será representado pela aproximação $3,141$.
- Truncar o número $3,14159265358979...$, de modo que ele tenha $6$ algarismos na parte decimal, significa que este número será representado pela aproximação $3,141592$.
- Arredondamento
Diremos que $a_x$ é o algarismo verificador, se $a_x$ corresponde ao algarismo que se encontra na posição à qual se pretende verificar (atribuir) a regra de arredondamento. Este algarismo verificador ocupa justamente uma posição posterior à quantidade de algarismo que se deseja que tenha o número arredondado. Os algarismos desejados para um número, após realizado o arredondamento é dito algarismos significativos.
Para efeito de generalização, tome um número decimal $m = a_1a_2a_3 \cdots a_{x-1}a_xa_{x+1}\cdots $; nosso algarismo verificador para $m$ será $a_x$ e este número terá $x-1$ algarismos significativos após o arredondamento.
a) Se o algarismo verificador for menor que 5 (0, 1, 2, 3 ou 4)
O algarismo anterior ao algarismo verificador deve permanecer inalterado e a partir do algarismo verificador, todos os demais algarismos são descartados.
Exemplos:
- Tome $m = 26,8937154$ e o algarismo verificador seja $a_x=3$, ou é, o número $m$ será arredondado com $4$ algarismos. Neste caso, o algarismo verificador $a_x$ é menor que 5, então o arredondamento de $m$ será $m \approx 26,89$.
- Tome $\pi = 3,14159265358979...$ e o algarismo verificador seja $a_x=a_7=2$, ou é, o número $\pi$ será arredondado com $6$ algarismos. Neste caso, o algarismo verificador $a_x$ é menor que 5, então o arredondamento de $\pi$ será $\pi \approx 3,14159$.
- Tome $\pi = 3,14159265358979...$ e o algarismo verificador seja $a_x=a_4=1$, ou é, o número $\pi$ será arredondado com $3$ algarismos. Neste caso, o algarismo verificador $a_x$ é menor que 5, então o arredondamento de $\pi$ será $\pi \approx 3,14$.
b) Se o algarismo verificador for maior que ou igual a 5 (5, 6, 7, 8 ou 9)
Tendo que $y$ é o algarismo anterior ao algarismo verificador, então o último algarismo do número, já arredondado, passará a ser $y+1$ e a partir do algarismo verificador, todos os demais algarismos são descartados.
No caso específico, em que o algarismo anterior ao algarismo verificador for $y=9$, o procedimento é de aumentar $1$ ao penúltimo algarismo antes do algarismo verificador e o último algarismo antes dele passa a ser $0$.
Exemplos:
- Tome $m = 26,8937154$ e o algarismo verificador seja $a_x=5$, ou é, o número $m$ será arredondado com $7$ algarismos. Neste caso, o algarismo verificador $a_x$ é igual a 5, então o arredondamento de $m$ será $m \approx 26,89372$.
- Tome $n = 3,5896712$ e o algarismo verificador seja $a_x=6$, ou é, o número $n$ será arredondado com $4$ algarismos. Neste caso, o algarismo verificador $a_x$ é igual a 6, então o arredondamento de $n$ será $n \approx 3,590$. Veja que o último algarismo antes do algarismo verificador era $9$, assim trocamos ele por $0$ e adicionamos $1$ ao penúltimo algarismo, ou é, trocamos $...89$ por $...90$.
- Tome $\pi = 3,14159265358979...$ e o algarismo verificador seja $a_x=a_{12}=8$, ou é, o número $\pi$ será arredondado com $11$ algarismos. Neste caso, o algarismo verificador $a_x$ é maior que 5, então o arredondamento de $\pi$ será $\pi \approx 3,1415926536$.
Na Planilha
A explicação e as imagens capturadas para esta edição foram estruturadas a partir do Microsoft Office Excel 2007 (Versão: 12.0.4518.1014). Praticamente todas as informações a seguir podem ser pesquisadas e encontradas no site http://www.office.com/, lá você encontrará suporte para os recursos Office, além de poder manter uma conta e editar arquivos nestes recursos de modo on-line.
- Função ARRED
A função ARRED é configurada com a seguinte sintaxe: =ARRED(núm;núm_dígitos), em que núm é o número a ser arredondado ou a célula em que este número se encontra e núm_dígitos é a quantidade de algarismos da parte decimal do número serão mostrados após o arredondamento.
Nos exemplos a seguir, você perceberá que a função ARRED já realiza exatamente as regras indicadas acima.
A) Na célula G4 foi adicionado =ARRED(C4;1), ou seja, C4 indica o número $\pi$ que foi inserido nela e 1 indica quantos algarismos aparecem na parte decimal do número. Neste caso $a_3=4$ é o algarismo verificador e como $4<5$ o arredondamento seguiu a regra de descartar os algarismos a partir do algarismo verificador.
B) Na célula G5 foi adicionado =ARRED(C4;2). Neste caso $a_4=1$ é o algarismo verificador e como $1<5$ o arredondamento seguiu a regra de descartar os algarismos a partir do algarismo verificador.
C) Na célula G6 foi adicionado =ARRED(C4;3). Neste caso $a_5=5$ é o algarismo verificador e como $5=5$ o arredondamento seguiu a regra de aumentar $1$ ao algarismo anterior e descartar os algarismos a partir do algarismo verificador.
D) Na célula G7 foi adicionado =ARRED(C4;4). Neste caso $a_6=9$ é o algarismo verificador e como $9>5$ o arredondamento seguiu a regra de aumentar $1$ ao algarismo anterior e descartar os algarismos a partir do algarismo verificador.
E) Na célula G8 foi adicionado =ARRED(C4;5). Neste caso $a_7=2$ é o algarismo verificador e como $2<5$ o arredondamento seguiu a regra de descartar os algarismos a partir do algarismo verificador.
F) Na célula G9 foi adicionado =ARRED(C4;6). Neste caso $a_8=6$ é o algarismo verificador e como $6>5$ o arredondamento seguiu a regra de aumentar $1$ ao algarismo anterior e descartar os algarismos a partir do algarismo verificador.
G) Na célula G10 foi adicionado =ARRED(C4;12). Neste caso $a_{14}=7$ é o algarismo verificador e como $7>5$ o arredondamento seguiu a regra de aumentar $1$ ao algarismo anterior e descartar os algarismos a partir do algarismo verificador. Ocorre que o algarismo anterior era $9$, e então procedeu-se por aumentar um no penúltimo algarismo e atribuir $0$ ao último, ou é, de $89$ para $90$.
- Funções ARREDONDAR.PARA.BAIXO e ARREDONDAR.PARA.CIMA
Se você não quiser aplicar a regra como ela é indicada nos exemplos acima, basta você escolher uma das funções ARREDONDAR.PARA.BAIXO ou ARREDONDAR.PARA.CIMA, com sintases: =ARREDONDAR.PARA.BAIXO(núm;núm_dígitos). Neste caso você irá estipular se o arredondamento será $1$ a mais ao último algarismo antes do algarismo verificador (arredondar para cima) ou se descarta a partir do algarismo verificador (arredondar para baixo).
- Função TRUNCA
Como referenciamos a respeito do truncamento anteriormente, o Excel possui tal função. Sua sintaxe é: =TRUNCAR(núm;núm_dígitos).
- Observações ao editar o quadro deste exemplo: $\pi$ (pi), casas decimais visíveis, categoria, tamanho da célula, ajuda com a função
O número $\pi$ que aparece no quadro do exemplo acima, não está corretamente indicado, pois foi utilizada a função =PI() no Excel para indicar o número e como ele é um número com infinitos algarismos a célula exibiu alguns destes algarismos sem a indicação de continuidade.
É possível editar uma célula indicando quantas casas decimais se quer exibir nela, para isso basta clicar em um dos dois botões indicados na figura abaixo, aumentando ou reduzindo a quantidade de casas decimais. Caso o número de algarismos na parte decimal indicado para ser exibido for maior que a quantidade de algarismos da parte decimal deste número, aparecerão zeros até completar a quantidade de algarismos indicada. Se o número for inteiro, estes zeros aparecerão como parte decimal.
É possível formatar uma célula (ou mais - basta selecioná-las antes) clicando no canto inferior direito na parte "Número" da barra de ferramentas "Início", conforme indica a imagem a seguir:
Feito isso, aparecerá uma janela como a da próxima imagem. Entre outras formatações a "Categoria" permite editar o formato do dado que estará inserido na célula. No caso do exemplo para este artigo, utilizamos a categoria "Geral".
Ao realizar algum cálculo é possível que apareça uma sequência como a indicada na figura a seguir. No caso de números, como o exemplo usado neste artigo, isso se refere ao número não poder ser todo exibido na célula. Para visualizar o número, basta aumentar o tamanho (horizontal) da célula.
Caso você deseja utilizar alguma função, mas não está certo sobre a sua funcionalidade, basta inserir a parte inicial de sua sintase, que irá aparecer logo abaixo um link para ajuda a respeito desta função (imagem que segue).
Recomendações
As referências a seguir foram utilizadas para estruturar este artigo, ou são indicações de variações de regras de arredondamento.
Arredondamento e compatibilização de valores e regras para datar. Disponível em: <http://w3.ufsm.br/engproducao/wp-content/uploads/16-arredondamento.pdf>, acesso em 25 dez 2015.
Excel - Função ARRED categoria Matemática e Trigonométrica. [Vídeo] Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=jmIZ25V3mGs>
Regras de arredondamento dos números. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=yWyXNrLxZyc, acesso em 25 dez 2015.
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