Dois cálculos muito utilizados em matemática, são o $mmc$ e o $mdc$, respectivamente, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. As definições e procedimentos para tais cálculos são comumente ensinados do final do ensino fundamental 1 para o ensino fundamental 2 (a partir do 5º ano). Nesta postagem você confere um procedimento geométrico para encontrar o $mmc$ e o $mdc$ entre dois números inteiros não-negativos.
Definição. Mínimo Múltiplo Comum: Sejam $a$ e $b$ inteiros diferentes de zero. O mínimo múltiplo comum, resumidamente $mmc$, entre $a$ e $b$ é o inteiro positivo $m$ que satisfaz as seguintes condições:
- $m$ é um múltiplo comum de $a$ e $b$, isto é, $a|m$ e $b|m$;
- $m$ é o menor inteiro positivo com a propriedade anterior.
Definição. Máximo Divisor Comum: Sejam $a$ e $b$ inteiros diferentes de zero. O máximo divisor comum, resumidamente $mdc$, entre $a$ e $b$ é o número $d$ que satisfaz as seguintes condições:
- $d$ é um divisor comum de $a$ e $b$, isto é, $d|a$ e $d|b$;
- $d$ é o maior inteiro positivo com a propriedade anterior.
Neste caso, denotamos o $mdc$ entre $a$ e $b$ por $d = mdc(a,b)$ ou por $d=(a,b)$. Se $(a,b)=1$, então dizemos que $a$ e $b$ são primos entre si.
O método indicado a seguir é uma referência de Polezzi para a obtenção geométrica do $mdc$ e $mmc$ entre dois números (definições a seguir) retiradas de Oliveira e Fernandes (p.106-107, 115).
Método geométrico para encontrar o $mmc$ e o $mdc$ entre dois números
- Considere um retângulo $\mathcal{R}$ de lados, com medidas inteiras $a$ e $b$, dividido em quadradinhos unitários.
- Trace uma das diagonais do retângulo $\mathcal{R}$, marcando-a nos pontos que são vértices de algum quadradinho unitário.
- Conte quantas partes esses pontos dividem a diagonal: esse número $d$ é o $mdc(a,b)$.
- Trace linhas verticais (horizontais), passando por cada um dos pontos que foram marcados antes, unindo dois lados opostos do retângulo $\mathcal{R}$. Conte o número $m$ de quadradinhos unitários existentes em qualquer um dos $d$ retângulos $(\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2,\cdots ,\mathcal{R}_n)$ determinados por essas linhas verticais (horizontais): esse número $m$ é o $mmc(a,b)$.
A figura a seguir representa os procedimentos do método para $a = 12$ e $b = 21$. A diagonal está dividida em três partes iguais; logo, $3 = mdc(12,21)$. O número de quadradinhos existentes em qualquer um dos três retângulos é $7 \times 12$; logo, $84 = mmc(12,21)$.
Ora, o método é justificado tomando que se $d=mdc(a,b)$, existem inteiros $u$ e $v$ tais que $a=du$ e $b=dv$, com $u$ e $v$ primos entre si.
Considerando um sistema de eixos ortogonais com a origem num dos vértices do retângulo, a equação da reta que contém a diagonal considerada é $y=\frac{b}{a}x$. Logo, pertencem à diagonal os pontos $(0,0)$; $(u,v)$; $(2u,2v)$; $\cdots$; $(du,dv)$, pois
$\cfrac{b}{a}=\cfrac{v}{u}=\cfrac{2v}{2u}= \cdots = \cfrac{dv}{du}$,
ou seja, são $d+1$ pontos de coordenadas inteiras, igualmente espaçados.
Para verificar que são apenas esses os pontos da diagonal com coordenadas inteiras, suponha que $(p, q)$ pertença à diagonal e tenha coordenadas inteiras. Então,
$q=\cfrac{b}{a}\cdot p=\cfrac{v}{u}\cdot p$,
o que implica $qu=vp$ e, sendo $mdc(u,v)=1$, vem que $q=rv$ e $p=ru$, com $0\leq r\leq d$.
Logo, a diagonal fica dividida em $d$ pedaços iguais. Como os $d+1$ pontos são igualmente espaçados, os $d$ retângulos obtidos no último item do procedimento têm a mesma área $m$. Assim, $md=ab$, o que mostra que $m=mdc(a,b)$, e $m$ é também o número de quadradinhos contido nos retângulos.
$mmc$ e $mdc$: Processo mais ensinado nas escolas
Este método parece não ser ideal para valores de $a$ e $b$ arbitrariamente grandes. Outro procedimento para encontrar o $mdc$ de dois números é ilustrado num exemplo em Roque e Carvalho (p.108-109), usaremos este procedimento, que em Hefez (p.89) é designado como Algoritmo de Euclides (explicação do procedimento em O Baricentro da Mente), para encontrar o $mdc(12,21)$, seguindo a mesma estrutura.
Comece por retirar $12$ uma vez de $21$, obtendo $r_1 = 9$ como resto. Em seguida, retire $9$ uma vez de 12, obtendo $r_2 = 3$ como resto. Agora retire $3$ três vezes de $9$, obtendo $0$. Logo $3$ é o maior divisor de $12$ e $21$. Tal procedimento pode ser expresso da seguinte maneira:
Existem ainda outros métodos (procedimentos) para se encontrar o $mmc$ e o $mdc$ de dois e até mais números. Comumente, os procedimentos conforme indicados antes não são práticas entre professores e estudantes do ensino básico, nem mesmo estão expressos nos livros didáticos, apresentados mais próximos do que ilustra a figura a seguir, conforme Dante (p.119, 123-124).
Tal livro não apresenta as definições para o $mmc$ ou $mdc$, parte de exemplos de problemas, alguns exercícios que exploram o mesmo raciocínio aplicado na solução dos problemas e então apresenta o que chama de "processo prático".
Ora, todos estes procedimentos trazem em si diferentes representações, mas que tratam de uma mesma estrutura. Na verdade, eles são bem próximos, o que realmente mais os difere é justamente a forma como cada procedimento é representado.
Referências
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. Ensino Fundamental. Ática, volume 1, São Paulo, (2005), pp.296.
HEFEZ, Abramo. Aritmética, Coleção PROFMAT, SBM, Rio de Janeiro (2013), pp.338.
OLIVEIRA, Krerley I. M.; FERNÁNDEZ, Adán J. C. Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções, Coleção Olimpíadas de Matemática, SBM, 2ª Edição, Rio de Janeiro, (2010), pp.295.
POLEZZI, Marcelo. Como obter o MDC e o MMC sem fazer contas?, Explorando o Ensino da Matemática, SBM, Atividades Volume 2, Brasília, (2004), pp.172-185.
ROQUE, Tatiana; CARVALHO, João Bosco Pitombeira. Tópicos de História da Matemática, Coleção PROFMAT, SBM, Rio de Janeiro, (2012), pp.450.
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