Em mais uma contribuição do professor Sebá, seguem três conjecturas sobre os Números de Fibonacci. As conjecturas detalhadas a seguir referem-se a números primos, há bastante conteúdo a respeito no livro de Aritmética da coleção do PROFMAT, estruturado por Abramo Hefez. Neste mesmo livro, o capítulo 11 é dedicado aos números de Fibonacci. Saiba um pouco mais a respeito de Fibonacci em outra postagem aqui no blog.
Sequência de Fibonacci
Por definição, os primeiros dois números da sequência de Fibonacci são tomados por $0$ e $1$ ou por $1$ e $1$, há depender do ponto de partida escolhido da sequência, e cada número seguinte é a soma dos dois imediatamente anteriores.
Em termo matemático, a sequência dos números de Fibonacci é dada pela relação de recorrência: $F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2}$.
Tomando que $F_0=0$ e $F_1=1$ ou que $F_1=1$ e $F_2=1$.A recorrência do Número de Fibonacci
O exemplo a seguir, foi retirado do livro citado acima, trata-se de estudo sobre recorrência e consta na p. 85.
$F_{n+2}=F_{n+1} + F_{n}$, com $F_{0}=0$ e $F_{1}=F_{2}=1$.
A equação característica é $r^2=r+1$ e as suas raízes são dadas por
$r_{1}=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ e $r_{2}=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Então,
$F_{ n }=C_{1}{ \left( \cfrac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } \right) }^{ n }+ C_{2}{ \left( \cfrac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } \right) }^{ n }$
Para determinar $C_{1}$ e $C_{2}$, podemos usar, mais convenientemente, $F_{0}=0$ e $F_{1}=1$.
Obtemos o sistema
$\\ \begin{cases} { C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }=0 \\ { C }_{ 1 }\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } +{ C }_{ 2 }\frac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } =1 \end{cases}$
Resolvendo o sistema, encontramos $C_1=-C_2=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Daí:
$F_{ n }=\cfrac { 1 }{ \sqrt { 5 } } { \left( \cfrac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } \right) }^{ n }-\cfrac { 1 }{ \sqrt { 5 } } { \left( \cfrac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } \right) }^{ n }$.
Conjectura 1 sobre o Número de Fibonacci
Se o número $F_n$ de Fibonacci for primo, então, $n$ também o é.Exemplos:
$F_{5} = 5$ e $n = 5$;
$F_{7} = 13$ e $n = 7$;
$F_{11} = 89$ e $n = 11$;
$F_{13} = 233$ e $n = 13$;
$F_{17} = 1597$ e $n = 17$;
$F_{23} = 28657$ e $n = 23$;
$(\cdots)$
Conjectura 2 sobre o Número de Fibonacci
Se o número $F_n$ de Fibonacci for primo, então, $Fn$ é da forma $4k + 1$.Exemplos:
$F_{5} = 5$ e $5= 4\cdot1 + 1$
$F_{7} = 13$ e $13 = 4 \cdot 3 + 1$
$F_{11} = 89$ e $89 = 4 \cdot 22 + 1$
$F_{13} = 233$ e $233 = 4 \cdot 58 + 1$
$F_{17} = 1.597$ e $1.597= 4 \cdot 399 + 1$
$F_{23} = 28.657$ e $28.656 = 4 \cdot 7.164 + 1$
$(\cdots)$
Conjectura 3 sobre o Número de Fibonacci
Todo número de Fibonacci da forma $F_{2n – 1} > 1$, pode ser escrito como a soma de dois quadrados de inteiros por meio da fórmula $F_{2n-1}={F_{n}}^2+{F_{n-1}}^2$. em que $n$ é ímpar maior que 1.
Exemplos:
1) $F_3 = 2$, implica que $2n – 1 = 3$ e $n =2$.
Se $n = 2$, então,

2) $F_5 = 5$, implica que $2n – 1 = 5$ e $n =3$.
Se $n = 3$, então,

3) $F_7 = 13$, implica que $2n – 1 = 7$ e $n =4$.
Se $n = 4$, então,

4) $F_9 = 34$, implica que $2n – 1 = 9$ e $n =5$.
Se $n = 5$, então,

5) $F_{11} = 89$, implica que $2n – 1 = 11$ e $n =6$.
Se $n = 6$, então,

6) $F_{13} = 233$, implica que $2n – 1 = 13$ e $n =7$.
Se $n = 7$, então,

7) $F_{15} = 610$, implica que $2n – 1 = 15$ e $n =8$.
Se $n = 8$, então,

8) $F_{17} = 1.597$, implica que $2n – 1 = 17$ e $n =9$.
Se $n = 9$, então,

9) $F_{19} = 4.181$, implica que $2n – 1 = 19$ e $n =10$.
Se $n = 10$, então,

$(\cdots)$
10) $F_{75} = 2.111.485.077.978.050$, implica que $2n – 1 = 75$ e $n =38$.
Se $n = 38$, então,

Parte deste artigo foi enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br.
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