Conjecturas sobre os Números de Fibonacci

Em mais uma contribuição do professor Sebá, seguem três conjecturas sobre os Números de Fibonacci. As conjecturas detalhadas a seguir referem-se a números primos, há bastante conteúdo a respeito no livro de Aritmética da coleção do PROFMAT, estruturado por Abramo Hefez. Neste mesmo livro, o capítulo 11 é dedicado aos números de Fibonacci. Saiba um pouco mais a respeito de Fibonacci em outra postagem aqui no blog.

Sequência de Fibonacci

Por definição, os primeiros dois números da sequência de Fibonacci são tomados por $0$ e $1$ ou por $1$ e $1$, há depender do ponto de partida escolhido da sequência, e cada número seguinte é a soma dos dois imediatamente anteriores.

Em termo matemático, a sequência dos números de Fibonacci é dada pela relação de recorrência: $F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2}$.

Tomando que $F_0=0$ e $F_1=1$ ou que $F_1=1$ e $F_2=1$.

A recorrência do Número de Fibonacci

O exemplo a seguir, foi retirado do livro citado acima, trata-se de estudo sobre recorrência e consta na p. 85.

Determine o número de Fibonacci $F_{n}$ definido por

$F_{n+2}=F_{n+1} + F_{n}$, com $F_{0}=0$ e $F_{1}=F_{2}=1$.

A equação característica é $r^2=r+1$ e as suas raízes são dadas por

$r_{1}=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ e $r_{2}=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.

Então,

$F_{ n }=C_{1}{ \left( \cfrac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)  }^{ n }+ C_{2}{ \left( \cfrac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)  }^{ n }$

Para determinar $C_{1}$ e $C_{2}$, podemos usar, mais convenientemente, $F_{0}=0$ e $F_{1}=1$.

Obtemos o sistema

$\\ \begin{cases} { C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }=0 \\ { C }_{ 1 }\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 } +{ C }_{ 2 }\frac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 } =1 \end{cases}$

Resolvendo o sistema, encontramos $C_1=-C_2=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Daí:

$F_{ n }=\cfrac { 1 }{ \sqrt { 5 } } { \left( \cfrac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } \right) }^{ n }-\cfrac { 1 }{ \sqrt { 5 } } { \left( \cfrac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } \right) }^{ n }$.

Conjectura 1 sobre o Número de Fibonacci 

Se o número $F_n$ de Fibonacci for primo, então, $n$ também o é.

Exemplos:
$F_{5} = 5$ e $n = 5$;
$F_{7} = 13$ e $n = 7$;
$F_{11} = 89$ e $n = 11$;
$F_{13} = 233$ e $n = 13$;
$F_{17} = 1597$ e $n = 17$;
$F_{23} = 28657$ e $n = 23$;
$(\cdots)$

Conjectura 2 sobre o Número de Fibonacci

Se o número $F_n$ de Fibonacci for primo, então, $Fn$ é da forma $4k + 1$.

Exemplos:
$F_{5} = 5$ e $5= 4\cdot1 + 1$
$F_{7} = 13$ e $13 = 4 \cdot 3 + 1$
$F_{11} = 89$ e $89 = 4 \cdot 22 + 1$
$F_{13} = 233$ e $233 = 4 \cdot 58 + 1$
$F_{17} = 1.597$ e $1.597= 4 \cdot 399 + 1$
$F_{23} = 28.657$ e $28.656 = 4 \cdot 7.164 + 1$
$(\cdots)$

Conjectura 3 sobre o Número de Fibonacci

Todo número de Fibonacci da forma $F_{2n – 1} > 1$, pode ser escrito como a soma de dois quadrados de inteiros por meio da fórmula $F_{2n-1}={F_{n}}^2+{F_{n-1}}^2$. em que $n$ é ímpar maior que 1.

Exemplos:
1) $F_3 = 2$, implica que $2n – 1 = 3$ e $n =2$.
Se $n = 2$, então, $F_3=(F_2)^2+(F_1)^2$ ou $2 = 1^2 + 1^2$

2) $F_5 = 5$, implica que $2n – 1 = 5$ e $n =3$.
Se $n = 3$, então, $F_5=(F_3)^2+(F_2)^2$ ou $5 = 2^2 + 1^2$

3) $F_7 = 13$, implica que $2n – 1 = 7$ e $n =4$.
Se $n = 4$, então, $F_7=(F_4)^2+(F_3)^2$ ou $13 = 3^2 + 2^2$

4) $F_9 = 34$, implica que $2n – 1 = 9$ e $n =5$.
Se $n = 5$, então, $F_9=(F_5)^2+(F_4)^2$ ou $34 = 5^2 + 3^2$

5) $F_{11}  = 89$, implica que $2n – 1 = 11$ e $n =6$.
Se $n = 6$, então, $F_{11}=(F_6)^2+(F_5)^2$ ou $89 = 8^2 + 5^2$

6) $F_{13}  = 233$, implica que $2n – 1 = 13$ e $n =7$.
Se $n = 7$, então, $F_{13}=(F_7)^2+(F_6)^2$ ou $233 = 13^2 + 8^2$

7) $F_{15}  = 610$, implica que $2n – 1 = 15$ e $n =8$.
Se $n = 8$, então, $F_{15}=(F_8)^2+(F_7)^2$ ou $610 = 21^2 + 13^2$

8) $F_{17}  = 1.597$, implica que $2n – 1 = 17$ e $n =9$.
Se $n = 9$, então, $F_{17}=(F_9)^2+(F_8)^2$  ou $1.597 = 34^2 + 21^2$

9) $F_{19}  = 4.181$, implica que $2n – 1 = 19$ e $n =10$.
Se $n = 10$, então, $F_{19}=(F_{10})^2+(F_9)^2$ ou $4.181 = 55^2 + 34^2$

$(\cdots)$

10) $F_{75} = 2.111.485.077.978.050$, implica que $2n – 1 = 75$ e $n =38$.
Se $n = 38$, então,  $F_{75}=(F_{38})^2+(F_{37})^2$ ou $2.111.485.077.978.050 = 390.881.169^2 + 24.157.817^2$

Parte deste artigo foi enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br.