Conheça um pouco sobre o Binômio de Newton

Em 1663, quando ainda frequentava o Trinity College, o cientista formulou o teorema que hoje é conhecido como Binômio de Newton; também deu início aos estudos que o levaram as primeiras hipóteses sobre gravitação universal e começou a escrever sobre as séries infinitas. Na época, ele as chamou de teoria das fluxões e sem dúvida, foi o embrião do Cálculo Diferencial e Integral, que posteriormente passou a ser chamado de Cálculo Infinitesimal. Quando a peste invadiu a cidade e o colégio foi fechado, Newton voltou para a casa materna em Woolsthorpe e pôde deixar sua criatividade científica aflorar para ser reconhecida no mundo que o consagrou como um gênio da humanidade.

Nota sobre o texto original

Este post possui trechos com reprodução parcial de um texto presente num livro da Coleção Iluminados da Humanidade "A vida e o pensamento de Isaac Newton" de Morgana Gomes. O livro foi adquirido em Abril de 2008, em um dia que uma professora diretora de um colégio particular em que trabalhei, me pediu que lhe comprasse algumas revistas estilo passa-tempo.

Cheguei a ler aqui e ali, dentre os textos presentes no livro. Um livro pequeno com 98 páginas, letras em tamanho razoável e linhas não muito próximas , mas que não tinha me dado o trabalho da leitura completa. Encontrei um texto sobre o Binômio de Newton, e junto encontrei algumas falhas de formatação e uma expressão matemática escrita incorretamente, no final deste post apresento este erro. Mas vamos ao Binômio!

Binômio de Newton

Segundo Fernando Pessoa, "o Binômio de Newton é tão belo quanto a Vênus de Milo, embora haja poucas pessoas que se dêem conta disso". Ele foi criado pelo cientista inglês que o enunciou a fórmula explicita para a n-ésima potência, que permite desenvolver qualquer polinômio. O Binômio de Newton se apresenta na forma de $(a + b)^{n}$.

No enunciado, o $n$ deve ser um número inteiro e não negativo. Para possibilitar seu desenvolvimento, basta substituir as letras por números. Dessa forma, poderemos exemplificar a fórmula da seguinte maneira: $(3 + 2)^{2}$.

Observe que $a = 3$, $b = 2$ e $n = 2$, sendo $n$ o determinante do grau do binômio. Desenvolvendo este binômio com o grau $n = 2$, teríamos:
$(a + b)^{2} = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$.

Substituindo $a$ e $b$ b sem resolver $a + b$, teríamos
$(3 + 2)^{2} = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2^2 = 9 + 12 + 4 = 25$.

À medida que $n$ cresce, os cálculos vão se tornando mais trabalhosos. Confira alguns exemplos:
a) Para $n = 3$:
$(a + b)^{3} = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

b) Para $n = 4$:
$(a + b)^{4} = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

c) Para $n = 5$: $(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$


Observe que o número de termos no desenvolvimento de um Binômio na forma que se apresenta é igual a  $n + 1$.
Esses desenvolvimentos crescem muito e apresentam um certo trabalho para desenvolver; mas se prestarmos um pouco mais de atenção é possível perceber uma regularidade no modo que os termos dos Binômios vão se distribuindo. Veja no exemplo em que $n = 5$:

# que o expoente do primeiro termo e do último termo são iguais ao expoente do Binômio, $n = 5$;
# a partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos com a seguinte regra prática:

1º) Multiplicamos o coeficiente de $a$ pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo;
Exemplo:
Para o termo $5a^4b$ temos: $5 \cdot 4 \div 2 = 20 \div 2 = 10$.

Assim, o coeficiente do termo seguinte é $10$.

2º) Já para o expoente, como $n = 5$, temos a seguinte ordem em $a$ o expoente vai decrescendo de $5$ a $0$ e o expoente em $b$ vai crescendo de $0$ a $5$. Observe que quando o expoente é $0$, $a$ ou $b$ não aparecem, já que todo número (diferente do zero) cujo expoente é zero resulta $1$.
$(a + b)^{5} = a^5b^0 + 5a^4b^1 + 10a^3b^2 + 10a^2b^3+ 5a^1b^4 + a^0b^5$

O desenvolvimento do Binômio de Newton é um polinômio. Verifique que os expoentes dos termos do extremo ao centro no desenvolvimento do Binômio de Newton são iguais. Da esquerda para a direita os expoentes do primeiro termo são $5$ e $0$, e da direita para a esquerda, os expoentes do primeiro termo são $5$ e $0$. Isso ocorro com os próximos pares extremos até o centro do polinômio.
A soma dos coeficientes do Binômio de Newton é igual a $2^n$. Observe em $n = 5$, no seu desenvolvimento temos a soma dos coeficientes: $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$, ou o mesmo que, $2^5 = 32$.

Fórmula do termo geral do Binômio de Newton

A partir de uma fórmula prática, Newton possibilitou o desenvolvimento e a resolução de qualquer binômio elevado a uma potência inteira não negativa, o que facilita o cálculo, principalmente de potências mais elevadas. Observe que ela é válida para todos os números reais e complexos $x$ e $y$:

$(x + y)^n = \sum _{ k=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}{ x }^{ n-k }{ y }^{ k } } $

Por último, considerando $n$ como um número inteiro não negativo, que representa o coeficiente binominal, o $n!$ equivale a representação do fatorial de $n$:

$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac { n! }{ k!(n-k)! } $

Essa fórmula muitas vezes é atribuída a Blaise Pascal, que foi o responsável pela elaboração do Triângulo de Pascal, descrito no século XVII. No entanto, ela pode ter sido descoberta, segundo alguns indícios, tanto pelo matemático persa Omar Khayyám quanto pelo matemático chinês Yang Hui, em pleno século XIII.

A fórmula do desenvolvimento do termo geral do Binômio de Newton, é escrita assim:

${ \left( x-a \right)  }^{ n } = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}{ a }^{ 0 }{ x }^{ n }+\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}{ a }^{ 1 }{ x }^{ n-1 }+\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}{ a }^{ 2 }{ x }^{ n-2 }+...+\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}{ a }^{ n }{ x }^{ 0 }$

Observe que os coeficientes binomiais dos termos do desenvolvimento constituem uma linha do triângulo de Pascal.

No desenvolvimento do binômio $(x - a)^n$, temos:

${ \left( x-a \right)  }^{ n }=\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}{ x }^{ n }-\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}{ a }^{ 1 }{ x }^{ n-1 }+\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}{ a }^{ 2 }{ x }^{ n-2 }-...+{ \left( -1 \right)  }^{ n }\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}{ a }^{ n }$

Os sinais de cada termo do desenvolvimento são alternados, isto é, os termos de ordem par (2º, 4º, 6º, ...) são negativos, e os de ordem ímpar (1º, 3º, 5º, ...) são positivos.

Um problema na escrita

Resolvi por destacar esta questão pois acredito que o modo como foi escrito pode confundir o entendimento e a igualdade não é verdadeira (apesar da introdução). Observemos o trecho do livro:

Dessa forma, poderemos exemplificar a fórmula da seguinte maneira: $(3 + 2)^2$. E concluir que, o $3$ seria igual ao $a$, o $2$ se igualaria a $b$; e o $2$ equivaleria ao $n$, que é o determinante do grau do binômio. O seu desenvolvimento se daria a partir de: $(a + b)^n = a^n + 2ab + b^n$.

${(a + b)}^n = a^n + 2a \cdot b + b^n$ 

Perceba que mesmo com a antecipação (introdução), não se pode escrever esta igualdade. Afinal, se $n$ é o expoente do binômio, como se soube do coeficiente em $2ab$; se é pela introdução, não cabe usar $n$ e sim $2$ nos expoentes e pronto.

* O texto reproduzido aqui é apenas uma introdução do que pode ser desenvolvido e discutido a respeito do Binômio de Newton.

Referências

GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. Editora FTD. São Paulo, 1994.

GOMES, Morgana. A vida e o Pensamento de Isaac Newton. Coleção Iluminados da humanidade. 4D Editora. Rio de Janeiro.