O relógio e as horas representadas por cálculos

Vamos conferir os cálculos da imagem de dois relógios dos vários que encontrei na internet.

Cálculos Com 9

Me deparei com a imagem abaixo, que brinca com algumas operações matemáticas, em que os resultados são cada uma das $12$ horas do relógio, em um post no Facebook.

Havia um comentário dizendo sobre um erro para uma das horas. Foi então que resolvi verificar. Cálculos simples e realmente, apesar de muitos contra e até de explicações similares e para alguns convincentes,  há um erro de escrita.

Verifique que:

$1$ é igual $\cfrac { 9 }{9  } $
$2$ é igual $\cfrac { 9 + 9 }{9  } $

$3$ é igual $\sqrt{9} + 9 - 9$

$4$ é igual $\sqrt{9} + \cfrac { 9 }{9  } $
$5$ NÃO é igual a $\sqrt{9!} - \cfrac { 9 }{9  }$ (erro que era destacado nas discussões)

$6$ é igual $9 - \cfrac { 9 }{\sqrt{9 } }$

$7$ é igual $9 - \sqrt{9} + 0,9...$ (uma aproximação)

$8$ é igual $9 - \cfrac { 9 }{9  } $

$9$ é igual a $\sqrt [  9]{9^9  } $

$10$ é igual a $9 + \cfrac { 9 }{9  } $

$11$ é igual a $\cfrac { 99 }{9  }$

$12$ é igual a $9 + \cfrac { 9 }{\sqrt{9}  }$

Observe que o possível erro é simples, deveria ser $\sqrt{9}! - \cfrac { 9 }{9 }$ ao contrário de $\sqrt{9!} - \cfrac { 9 }{9 }$. No caso (que está correto) apresentado na figura, o fatorial é para a raiz, e não para o radicando. O fatorial está fora do radical (raiz). Do modo que que foi sugerido nos comentários, é preciso resolver o radicando primeiro $9! = 362.880$, e então calcular a raiz deste valor, que é aproximadamente $602,4$; tendo como resultado final, uma aproximação de $601,4$.

Com a troca teríamos:
$= \sqrt{9}! - \cfrac {9}{9}$
$= 3! - 1$
$= 6 - 1$
$= 5$

Notações e aproximações

Este relógio permite comentar sobre algumas questões interessantes como, aproximação, notação e rigor.

Verificando

• $1$ é igual a $102.413 - 102.412$;
• $2$ é igual a $\sqrt{4}$;
• $3$ é igual a $\cfrac{198}{66}$ (observe a notação diferente);
• $4$ é igual a $x$;
• $5$ é igual a $\cfrac{630}{126}$ (observe a notação diferente);
• $6$ é igual a $\cfrac{1}{8} \cdot \cfrac{96}{2}$;
• $7$ é igual a $x$, se houver uma condição para $x$;
• $8$ é igual a $\sqrt{64}$;
• $9$ não é igual $3 \cdot (\pi - 0,14)$, aqui existem algumas questões por verificar!
• $10$ é igual $x$;
• $11$ é igual a $\cfrac{1.221}{11}$ (observe a notação diferente);
• $12$ é igual a $6 \cdot 2$.

Resultado 4

$\cfrac{50}{2}= \cfrac{100}{x}$
$50x = 200$
$x = \cfrac{200}{50}$
$x = 4$

Resultado 6

$\cfrac{1}{8} \cdot{96}{2}= \cfrac{1}{8} \cdot 48 = 6$

Resultado 7

$55 - x^2 + x = 10$
$-x^2 + x + 42 = 0$
Método resolutivo Bhaskara:
$a = -1$, $b = 1$ e $c = 42$.
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 42$
$\Delta = 169$
$x = \cfrac{-1\pm \sqrt{169}}{2 \cdot (-1)}$
$x_1 = 7$ e $x_2 = -6$

Observe que o valor negativo não serve para a questão. Uma condição para $x$ seria: $x$ é um número pertencente ao conjunto dos números inteiros não negativos.

Resultado 10

$-8 = 2 - x$
$x = 2 + 8$
$x = 10$

Resultado 9

Trato deste resultado por último por duas questões:

• a notação $.14$ para indicar $0,14$ conforme é possível e compreendido por máquinas calculáveis; já na escrita, acredito que não seja adequado, é uma notação errada;
• ao usar o $.14$, assume-se que $\pi$ valha $3,14$ e assim tem-se $3,14 - 0,14 = 3$; isso também é um erro, pois não se deve assumir que $\pi$ tenha este valor, ou é, que ele seja um número finito.

Assumindo a notação, o resultado seria $3 \cdot (3,14 - 0,14) = 3 \cdot 3 = 9$

Notação

Não tinha conhecimento da notação para os resultados 4, 5 e 9, percebi que ela se refere à divisão, mas ainda não encontrei uma explicação para o símbolo.