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Lei do Corte e os Axiomas de Peano

Saiba um pouco sobre essa importante base matemática.
Faz pouco tempo que organizei um arquivo sobre Lei do Corte nas Divisões e sobre o cuidado que se deve ter com procedimentos assim. Nesta postagem, trago do que se trata a lei do corte e aproveito para relembrarmos sobre os axiomas de Peano.

Lei do Corte


"Se m, n e p são números naturais tais que
m + p = n + p, então m = n."


Uma demonstração desta lei, utiliza os axiomas de Peano e a propriedade associativa da adição. Confira:

P(1)
Para p = 1, a afirmativa vale pelo segundo axioma de Peano: " "
Se os sucessores m + 1 e n + 1 de m e n são iguais, então m = n.

P(n)
Suponhamos agora que a propriedade valha para algum natural p.
Isto é, m + p = n + p implique m = n. [hipótese de indução]

P(n + 1)
Suponhamos que m + (p + 1) = n + (p + 1).
Pela propriedade associativa da adição, a igualdade é equivalente a:
(m + 1) + p = (n + 1) + p. Mas pela hipótese de indução, isto implica
m + 1 = n + 1, que por sua vez implica m = n ( pelo caso que p = 1).

Logo, se a propriedade vale para p, então vale também para p + 1.

Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, a lei do corte vale para todo p natural.

Axiomas de Peano


Lei do Corte e os Axiomas de Peano

Um meio para se descrever matematicamente a estrutura do conjunto dos números naturais, no sentido de números ordinais, é proceder a partir de uma lista de propriedades essenciais, chamadas de axiomas, que caracterizam a estrutura da sequência, sem ambiguidades ou propriedades supérfluas, isto é, que possam ser obtidas das demais. Giuseppe Peano (1858-1932) propôs uma lista de axiomas, baseado na noção de sucessor de um número natural (intuitivamente). A construção de Peano caracteriza o conjunto dos números naturais por meio dos seguintes 4 axiomas:

1. Todo número natural tem um único sucessor, que também é um número natural.
2. Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.
3. Existe um único número natural, designado por 1, que não é sucessor de nenhum outro.
4. Seja X um conjunto de números naturais. Se 1 pertence a X e se, além disso, o sucessor de cada elemento de X ainda pertence a X, então X = N (naturais).

Há um destaque especial para o último axioma, que é dito Axioma de Indução, pois ele fornece um mecanismo para garantir que um dado subconjunto X de N inclui, na verdade, todos os elementos de N. Por esta razão, é um instrumento fundamental para construir definições e demonstrar teoremas relativos a números naturais. (definições e provas por indução ou recorrência).

O axioma da Indução pode ser reescrito como:
Seja P(n) uma propriedade relativa ao número natural n. Suponhamos que:
i) P(1) é válida.
ii) Para todo n pertencente a N, a validez de P(n) implica na validez de P(n + 1).

Então, P(n) é válida para todo n pertencente a N.

# Veja que foi justamente usando este axioma que se demonstrou a lei do corte acima.


Referências


LIMA, Elon Lages Lima. NÚMEROS E FUNÇÕES.Coleção PROFMAT. SBM, 1ª edição, Rio de Janeiro, 2013.

MORGADO, Augusto César. CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. MATEMÁTICA DISCRETA. Coleção PROFMAT. SBM, 1ª edição, Rio de Janeiro, 2014.


Charles Bastos

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2 comentários:

  1. Olá Charles! Muito bom este artigo! Esse axioma é importantíssimo para a Teoria dos números. Abraços

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    1. Pois sim Marcelo! Estes axiomas são parte importante nos estudos em Matemática.

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