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Você conhece o PIF, uma das mais importantes consequências do Princípio da Boa Ordenação?

Entenda um pouco sobre o Princípio da Boa Ordenação, com destaque para o Princípio da Indução Finita.

Princípio da Boa Ordenação


O Princípio da Boa Ordenação é descrito, segundo Abramo Hefez, da seguinte forma:
Diremos que um subconjunto $S$ de $Z$ é limitado inferiormente, se existir $c \in Z$ tal que $c \le x$ para todo $x \in S$. Diremos que $a \in S$ é um menor elemento de $S$ se $a \le x$ para todo $x \in S$.
Ou seja,
Se $S$ é um subconjunto não vazio de $Z$ e limitado inferiormente, então $S$ possui um menor elemento. 

 PIF e Princípio da Boa Ordenação


PIF - Princípio da Indução Finita ou Princípio de Indução Matemática


O Princípio da Indução Finita (PIF) é importante para a demonstração de inúmeras situações na matemática, quando envolve números naturais. Todo aluno de cursos de graduação ou especialização em matemática certamente tem contato com este princípio. Conhecer sua estrutura e o significado de sua aplicação nas situações é equivalente a conhecer o conjunto dos números naturais; que é uma base fundamental na construção de inúmeras teorias da matemática.

No artigo, Lei do Corte e os Axiomas de Peano, em que retrato sobre os Axiomas de Peano, apresento uma versão para o PIF, retirado do livro do professor Elon Lages, coleção PROFMAT, SBM. O Professor Rafael Procópio, mantenedor de um excelente canal que disponibiliza inúmeros vídeos relacionados à matemática, preparou um senhor vídeo sobre este tema, que vale assistir atentamente. No vídeo o professor Rafael, esclarece uma série de situações de aplicação e de falsa aplicação deste princípio.



O Princípio da Indução Finita, também chamado Princípio de Indução Matemática pode ser enunciado do seguinte modo (Abramo Hefez):
Sejam $S$ um subconjunto de $Z$ e $a \in Z$ tais que i) $a \in S$. ii) $S$ é fechado com respeito à operação de "somar 1" a seus elementos, ou seja $\forall$ $n$, $n \in S \Rightarrow n + 1 \in S$. Então, $\{x \in Z;  x \ge a \} \subset S$.
Demonstração. Ponhamos $S' = \{x \in Z; x \ge a \}$ e suponhamos por absurdo que $S'$ não está contido em $S$, logo $S' \setminus S \neq \emptyset$. Como esse conjunto é limitado inferiormente (por $a$), existe um menor elemento $c$ em $S' \setminus S$. Pelo fato de $c \notin S'$ e $c \notin S$, temos que $c > a$. Portanto, $c -1 \in S'$ e $c -1 \in S$. Pela hipótese sobre $S$, temos que $c = (c - 1) + 1 \in S$, como $c \in S'$, obtemos uma contradição com o fato de $c \in S' \setminus S$.

Procedimento para provar por indução matemática

Teorema. Seja $a \in Z$ e seja $p(n)$ uma sentença aberta em $n$. Suponha que $(i)$ $p(a)$ é verdadeiro, e que $(ii)$ $\forall  n \ge a$, $p(n) \Rightarrow  p( n + 1)$ é verdadeiro. Então, $p(n)$ é verdadeiro para todo $n \Rightarrow a$.

O blog Manthano, traz um artigo referenciado uma aplicação do Princípio da Boa Ordenação, referente ao algoritmo da divisão.  Já o blog Fatos Matemáticos, apresenta uma breve história e a demonstração do Princípio da Boa Ordenação.


Charles Bastos

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