A Matemática em planilhas eletrônicas: Determinantes

Esta postagem é parte da coleção A Matemática em planilhas eletrônicas, que relaciona conteúdo matemático e sua representação em planilhas eletrônicas. O assunto referenciado nesta postagem está retratado em uma planilha criada anteriormente e disponibilizada para download em "Planilha no Excel sobre Determinantes". O tratamento agora é diferente, por comparar o conteúdo de matemática com a lógica empregada em planilhas.

Na Matemática

Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada.

A teoria dos determinantes surgiu quase simultaneamente na Alemanha e no Japão. Foi desenvolvida por dois matemáticos, Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, ao solucionarem um problema de eliminações necessárias à resolução de um sistema de $m$ equações lineares com $m$ incógnitas.

Por exemplificação, o determinante de uma matriz quadrada $A$ de 2ª ordem é dado por:

$det A = |A| = \begin{vmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \end{vmatrix}={ a }_{ 11 }\cdot { a }_{ 22 }-{ a }_{ 12 }\cdot { a }_{ 21 }$

Para matrizes de ordem maior que 2 existem alguns procedimentos e regras a serem escolhidas ao calcular o determinante. Entre elas:

• Teorema de Laplace para calcular o determinante de uma matriz de 3ª ordem;
• Regra de Sarrus também para calcular o determinante de uma matriz de 3ª ordem;
• Para determinantes de matrizes de ordem superior a 3, usualmente aplica-se o Teorema de Laplace sucessivas vezes até que se tenha uma matriz de ordem 3 e então usa a regra de Sarrus;
• Teorema de Jacobi, semelhante ao procedimento de operar com equações (linhas) ou incógnitas (colunas) de um sistema linear;
• Regra de Chió, aplica-se quando o elemento $a_{11}=1$;

O exemplo utilizado aqui, foi resolvido por meio da regra de Sarrus:
Primeiro, repita a 1ª e 2ª colunas à direita da matriz, conforme a imagem a seguir:

Multiplique os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associe aos produtos o sinal indicado, assim você terá $detB=$

${ b }_{ 11 }\cdot { b }_{ 22 }\cdot { b }_{ 33 }+{ b }_{ 12 }\cdot { b }_{ 23 }\cdot { b }_{ 31 }+{ b }_{ 13 }{ b }_{ 21 }\cdot { b }_{ 32 }-{ b }_{ 13 }\cdot { b }_{ 22 }\cdot { b }_{ 31 }-{ b }_{ 11 }\cdot { b }_{ 23 }\cdot { b }_{ 32 }-{ b }_{ 12 }\cdot { b }_{ 21 }\cdot { b }_{ 33 }$

Tomemos a matriz $B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$, seu determinante é, pela regra de Sarrus:
$detB=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}$

$=1\cdot 5\cdot 3+0\cdot 2\cdot 2+1\cdot 3\cdot (-1)-1\cdot 5\cdot 2-2\cdot (-1)\cdot 1-3\cdot 0\cdot 3$

$=15+0-3-10+2+0=4$

Na Planilha [Excel]

Para calcular o determinante de alguma matriz no Excel, podemos tomar dois procedimentos. O primeiro, não é nada prático, pois se trata de desenvolver a aplicação de algumas das regras acima em uma fórmula matemática com operações. Já para o segundo, usamos uma fórmula da planilha. Confira a diferença dos dois procedimentos, tomando o exemplo da matriz $B$ descrito acima.

• Procedimento 1:

Como no exemplo, a matriz $B$ é de ordem 3, escolhi usar a regra de Sarrus e assim o cálculo do determinante pela planilha fica calculado em uma célula da maneira como aparece na imagem:

Não é uma forma muito útil, mas reproduz a mesma ideia da regra de Sarrus, com a única diferença que você não precisará realizar cálculos de operações básicas para chegar ao resultado; tendo que conhecer e saber utilizar a regra. 

• Procedimento 2:

a) Usamos as linhas e colunas da planilha, para serem as linhas e colunas da matriz, inserimos os elementos conforme na figura;

b) Usamos a fórmula =MATRIZ.DETERM(matriz), e no lugar da palavra matriz em negrito, inserimos o intervalo que corresponde à matriz que desejamos calcular o determinante. É possível simplificar a inserção dos elementos (ou a matriz), tendo colocado a fórmula até o ponto =MATRIZ.DETERM( com o mouse selecionar as células que representam a matriz, fechar o parênteses e então pressionar enter; o determinante será apresentado.