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Apontamentos sobre o ensino de geometria nas escolas públicas

Parte de um capítulo da minha dissertação de Mestrado PROFMAT sobre Representações
Este texto é parte de um trabalho de conclusão de curso (alterado a partir do original). Leia antes o capítulo inicial: Notas sobre representações e geometria na história da Matemática.

Apontamentos sobre o ensino de geometria nas escolas públicas

O ensino de geometria nas escolas públicas


Ao nascer, a criança passa a ter suas primeiras interações com o espaço. Tudo ainda é desconhecido, em nada há significado. As primeiras sensações, as repetições, as experiências, são inúmeros estímulos que aos poucos dão ao sujeito um sentido de espaço. O livro de Kobayashi "A construção da geometria pela criança", apresenta características relevantes sobre a geometria infantil, que não é assunto desta dissertação, mas que contribui para o entendimento da construção do conhecimento (em específico, a geometria) pelo sujeito em seus primeiros 7 anos.

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN [p.47], ao serem descritos os objetivos propostos no documento, há um destaque para as "capacidades que devem ser desenvolvidas pelos alunos ao longo da escolaridade'' e a respeito da capacidade cognitiva, indicam que ela
tem grande influência na postura do indivíduo em relação às metas que quer atingir nas mais diversas situações da vida, vinculando-se diretamente ao uso de formas de representação e de comunicação, envolvendo a resolução de problemas, de maneira consciente ou não. A aquisição progressiva de códigos de representação e a possibilidade de operar com eles interfere diretamente na aprendizagem da língua, da matemática, da representação espacial, temporal e gráfica e na leitura de imagens. [PCN, p.47] 
Os primeiros anos de uma criança são carregados de novas experiências, que mais tarde se tornam determinantes para o modo como ela se perceberá e perceberá o que está a sua volta. Este período inicial, em que os sentidos, as formas, os conceitos e tudo mais são vivenciados e vão dando significado às coisas, é explorado por Kobayashi, que propõe ainda um apanhado sobre o ensino de geometria às crianças. Baseadas em Del Grande, Passos e Nacarato dizem que:
a natureza das atividades matemáticas relacionadas com a geometria na escola básica permite a aquisição de experiências de percepção visual dando aos professores oportunidade de observar e detectar, desde cedo, como o pensamento geométrico das crianças vai sendo construído. (...) essa percepção inicial das habilidades de percepção visual será fundamental para o planejamento de tarefas de geometria a serem propostas pelo professor. [Passos, p.1149]
Limitar-se-á a descrever algumas características do ensino de geometria no Ensino Básico, observadas em referências que vão do Ensino Fundamental I (1º ao 5º ano), passando pelo Ensino Fundamental II (6º ao 9º ano) até o Ensino Médio; principalmente a partir da reforma do ensino de Matemática, que segundo Ávila [p.3-6] ficou conhecida como "Matemática Moderna". Pavanello [p.13], diz que a ideia central do movimento (Matemática Moderna) "é adaptar o ensino da matemática às novas concepções surgidas com a evolução deste ramo do conhecimento."

No Brasil, de acordo com Dutra Júnior [p.14-15], o ensino de geometria teve pouco destaque até o século XVIII, por conta de falta de qualificação e por ser considerado de pouca necessidade à formação. Inicialmente, por conta de finalidades militares, a Geometria e o Desenho Geométrico surgem em algumas escolas; mas só quando a geometria foi tomada como pré-requisito de ingresso em cursos superiores é que o seu ensino foi formalizado e passou a ser permanente no ensino secundário.

A reforma, entre outros, alterou o currículo de matemática adicionando novos conteúdos, modificou também a linguagem e a notação empregada passou a ser a de conjuntos. Muitos propuseram uma redução do currículo de geometria ou mesmo que ela não fizesse parte do ensino de matemática. Especificamente a respeito da geometria em livros didáticos, por conta da Matemática Moderna, Pavanello indica que:
opta-se, num primeiro momento, por acentuar nesses livros as noções de figura geométrica e de intersecção de figuras como conjuntos de pontos do plano, adotando-se, para sua representação, a linguagem da teoria dos conjuntos. Procura-se trabalhá-la segundo uma abordagem "intuitiva" que se concretiza, nos livros didáticos, pela utilização dos teoremas como postulados, mediante os quais pode-se resolver alguns problemas. Não existe qualquer preocupação com a construção de uma sistematização a partir das noções primitivas e empiricamente elaboradas. [Pavanello, p.13]
Pavanello [p.7] aponta dois motivos para o abandono do ensino de geometria no Brasil: 1) a insegurança dos professores de matemática em trabalhar com geometria e principalmente, 2) o modo como se procedeu a educação no Brasil; indicando ainda que o desenvolvimento da matemática não foi motivo para que a geometria cedesse espaço para outras áreas. Passos e Nacarato [p.1148] citam que a geometria não é "assumida como prioridade frente aos demais conteúdos de matemática, pois ninguém ensina aquilo que não tem domínio conceitual".

Esta mesma autora traça um perfil da educação no Brasil, no século XX, ressaltando vários pontos: situação econômica e social da população, ensino voltado para necessidades práticas da vida, necessidade de formação dos professores, quantidade excessiva de conteúdos em relação ao tempo disponível para ser desenvolvido, a geometria não ser ministrada em algumas séries, a falta de professores para atender à demanda crescente pela busca do ensino, má condição de trabalho, falta de 'unidade' nas disciplinas dos cursos de licenciatura, implantação das "licenciaturas curtas", superlotação das classes, aumento da carga de trabalho dos professores, entre outros, concluindo que:
O abandono do ensino de geometria deve, portanto, ser caracterizado como uma decisão equivalente às medidas governamentais, em seus vários níveis, com relação à educação. Pode-se questionar as verdadeiras intenções e compromissos que elas revelam em relação ao oferecimento de condições que implique em reais oportunidades educacionais a todos os segmentos da população brasileira. [Pavanello, p.16]
Por muito tempo, o ensino de geometria foi organizado entre os últimos itens do currículo e de livros didáticos, sempre com divisórias entre os conteúdos que pouco ou nada se relacionavam. Nos últimos anos percebe-se que os conteúdos têm sido organizados de modo que as áreas em que a matemática é divida para o ensino nas escolas estão separadas em blocos; a geometria não mais aparece no final, mas em cada um dos períodos/trimestres aos quais as escolas organizam seu calendário.

No Brasil, houve um período em que o Desenho vigorou como disciplina no que hoje é o Ensino Fundamental II, e sua base era o desenho geométrico. Já na etapa do Ensino Básico designada por Ensino Médio, o predomínio da disciplina era a geometria descritiva; mas ela, deixou de ser currículo base e foi amplamente retirada do ensino público poucos anos após sua obrigatoriedade por lei. E a partir da LDB 5.692/71 o Desenho foi substituído por Educação Artística.

Para o Ensino Médio, há que destacar o conteúdo dos documentos complementares aos PCNs. Nele é traçado um perfil desta etapa do Ensino Básico, seja apontando características sociais e econômicas ou referenciando a legislação a respeito do ensino no Brasil, para posteriormente discorrer sobre cada disciplina; ponto em que colocamos por evidência as orientações quanto a representação na matemática - que terá maior destaque no próximo capítulo.
O novo ensino médio, (...) deixa de ser, portanto, simplesmente preparatório para o ensino superior ou estritamente profissionalizante, para assumir necessariamente a responsabilidade de complementar a educação básica. [Brasil, p.08]
As inúmeras dificuldades relacionadas ao ensinar ainda no nível fundamental, infelizmente refletem maiores dificuldades para os estudantes do Ensino Médio, em sua maioria adolescentes. É percebido o apontamento do Ensino Médio, principalmente, como preparatório para o 'vestibular' e há a busca por resgatar o ensino profissionalizante e técnico concomitante à etapa de ensino.

Os componentes curriculares voltaram ao debate nestes últimos anos, com a proposta de aproximar o que é ensinado nas escolas em todo o território brasileiro. A Sociedade Brasileira de Matemática - SBM, elaborou documentos que procuram contribuir para o debate sobre o currículo. No que se refere a disciplina matemática, são apresentados os conteúdos presentes na imagem a seguir, organizados por série em quatro áreas. Estas áreas são detalhadas, especificando-se os conteúdos, as habilidades e algumas observações; procurando ainda, explorar a geometria durante o ano letivo e intercalando com outros conteúdos.

Apontamentos sobre o ensino de geometria nas escolas públicas

Uma das quatro áreas é a geometria, e para ela há o apontamento para a necessidade de recordar e aprofundar conceitos que deveriam ter sido apresentados no Ensino Fundamental II. É indicado que o ensino e a aprendizagem nesta faixa era pautado em propriedades percebidas nas figuras e que no Ensino Médio; tais propriedades podem ser demonstradas sem exagero ao rigor da escrita procurando privilegiar algumas informações com notação simples. Recomenda a abordagem intuitiva ao conceito de limite, a apresentação de axiomas, a demonstração de alguns teoremas e indicação de definições relacionadas a exemplos; além de relacionar figuras, ilustrações e construções de poliedros e corpos redondos com objetos concretos.

Nas contribuições da SBM [Ensino Fundamental II, p.05], há a proposta de incluir no Ensino Fundamental II a geometria espacial, conteúdo presente em vários livros didáticos desta etapa de ensino, mas que pouco ou nada é explorado. E ainda, há a recomendação de que se manipule materiais concretos, observe formas 3D presentes no mundo e utilize algum software de geometria dinâmica. Tais recomendações, não são novidade, mas são pouco exploradas.

Os professores, ao planejarem suas aulas, seguiam as diretrizes e a organização dos livros didáticos, e assim quase sempre o conteúdo de geometria era o último a ser estudado, quando era estudado e quase nunca estava relacionado com outras áreas. O ensino de geometria ainda é mínimo e superficial, e isso se repete série após série; são vários conceitos repetidos e quase sempre sem fundamentação; os estudantes terminam o Ensino Básico com inúmeras deficiências de aprendizagem. Kobayashi, refere-se a Araújo afirmando que 
... os livros didáticos de Matemática para o ensino fundamental... na sua maioria, enfatizam temas aritméticos em detrimento dos geométricos, que são tratados de forma abstrata, descritiva e desarticulada, nas últimas páginas de cada volume. [Araújo p.12-16 apud Kobayashi, p.13-14]
Os livros didáticos atuais têm fugido das características apontadas por Araújo. São várias as discussões e propostas de organização curricular, procurando alterar o modo como os conteúdos são dispostos nos livros didáticos e são ensinados (transmitidos) nas escolas. No Ensino Básico, os conteúdos, série após série, são organizados em blocos temáticos, em que a cada série são acrescidos novos conceitos, mas há uma tendência dos professores ainda priorizarem, por exemplo, conteúdos algébricos, deixando de lado conteúdos geométricos; os problemas envolvendo geometria ou são ignorados ou não têm a devida atenção do professor em sua prática pedagógica.

Percebe-se maior atenção aos livros didáticos de matemática, por eles estarem melhor estruturados, conteúdos recheados de diferentes formas de representações, ênfase no tratamento e conversão entre as representações; mas a distinção entre objeto matemático e a representação deste objeto não é evidenciada. Nem mesmo o professor possui conhecimento a respeito para propor práticas que permitam ao(à) estudante melhor compreensão em geometria. Conhece-se basicamente a figura e a ela atribui o objeto geométrico, mas pouco se sabe das características do objeto geométrico presentes em sua representação.

É preciso que ao planejar o professor procure não se prender à sequência apresentada nos livros, mas associar uma série de competências para o alcance dos objetivos estipulados. O uso de problemas tem sido uma proposta que busca inserir conteúdos de geometria entre os blocos específicos de álgebra ou aritmética, por exemplo; e é algo que é percebido nos livros didáticos atualmente, como os da coleção: A conquista da Matemática de Giovanni Júnior e Castrucci, São Paulo: FTD, 2009. Mas ainda, falta até mesmo aos professores, conhecimento teórico e didático para, ao ensinar, lidar com melhor fundamentação da geometria.

As escolhas dos livros didáticos pelos professores, parecem ser por aqueles livros de pouca fundamentação, com fórmulas prontas, boa diagramação, muitos exemplos (modelos) e exercícios. Terem uma boa aparência e organização, serem bem ilustrados, terem vários exemplos, problemas e exercícios são requisitos necessários para ensinar e aprender, mas é importante também que se atentem para a base à qual a matemática tem sido construída; que os professores não abandonem esta parte do ensino por desculpa de que assim é mais 'fácil' e de que é preciso ensinar para a vida (ensinar o cotidiano). A matemática precisa ser ensinada para além do palpável, há que compreender sua representação axiomática.

Os livros de matemática da coleção projeto Teláris, editora ática, PNLD 2014-2016, de Luiz Roberto Dante exemplificam bem a preocupação de buscar durante todo o ano letivo, retomar vários conceitos e de dar um tratamento crescente de conteúdos para cada ano do Ensino Fundamental II, valorizando o ensino de geometria. No livro do 9º ano, a geometria está presente em suas quatro unidades, com destaque para o tratamento quanto ao conteúdo de funções, em que estão conectados vários outros conteúdos: proporcionalidade, semelhança (segmentos, capacidade, triângulos e outros polígonos), transformações (translação, reflexão e rotação), relações métricas (triângulos e circunferências), Teorema de Pitágoras, Teorema de Tales. Neste mesmo livro, há a preocupação em referenciar a história da matemática, em realizar algumas demonstrações sem muito formalismo, em apresentar várias ilustrações de objetos e locais reais relacionados ao conteúdo em estudo, além de propor a resolução de vários problemas.
Por que as coisas mudaram tanto e hoje em dia vários livros abandonaram as demonstrações, limitando-se tão somente ao enunciar teoremas e definições, num receituário monótono de enunciados e fórmulas sem a menor justificativa? [Ávila, p.3-8]
Um dos fatores que contribuem para que a Matemática seja considerada difícil vem da forma como é ensinada, fazendo uso, muitas vezes, da mesma ordem de exposição presente nos textos matemáticos, ou seja, ao invés de partirmos do modo como um conceito matemático foi desenvolvido e exibirmos as perguntas às quais ele responde, tomamos este conceito como algo pronto. [Roque e Carvalho, XI]

É costume utilizar as ferramentas prontas (conceitos, definições, proposições, teoremas etc.) sem bem compreendê-las, sem demonstrá-las ou sem associar a elas o devido valor e assim este uso pode ser incorreto ou incompleto, dificultando procedimentos por falta de um raciocínio típico daqueles que se apropriaram das características pertinentes a estas ferramentas. Vários livros didáticos retomaram melhor fundamentação aos conteúdos matemáticos; mas, por vivência e investigação (conversa informal) em um dos ambientes que trabalho, muitos professores parecem ainda estarem inertes, acomodados com um mesmo molde para ensinar; recorrem diretamente aos resumos, fórmulas, exemplos e procuram indicar procedimentos e "macetes'' sem a explicação de como e porque eles são válidos.

A imaginação é instrumento importante que deve ser estimulado para associar conceitos abstratos com projeções reais de situações ou objetos em que a teoria pode ser aplicada. Cabe ao professor explorar tal capacidade e propor problemas que levem o(a) estudante a deter um pensamento que associe teoria, visão e imaginação, tornando mais próximo deste o entendimento daquilo que se propõe ensinar; e mais, um conceito pode ser representado de diferentes formas, e isso proporciona que um maior número de estudantes compreenda mais facilmente tal conceito, além de disponibilizar diferentes alternativas para se deter determinado conhecimento.

Saravali [p.218], apoiada em Montoya, discorre sobre "a importância dos aspectos figurativos, além dos operativos, como instrumentos importantes na formação e desenvolvimento do pensamento". Ora, a visão nem sempre está ao alcance, seja pela ausência ou inexistência real do objeto que represente determinada situação ou por deficiência do sujeito; imaginar para estes casos é ainda mais necessário. Deter conceitos e saber associá-los de modo a criar uma imagem mental é algo necessário, segundo Montoya (em Saravali, p.219), ao nascimento e ao acabamento da representação conceitual ou da inteligência representativa.

O ensino e a aprendizagem em Matemática carecem maior atenção quanto a formação do professor, nas licenciaturas, sobre as práticas de ensino e aprendizagem no nível básico, principalmente nas primeiras séries do Ensino Fundamental. Muitos professores não possuem formação específica em matemática e lhes falta, por exemplo, conhecimento sobre geometria; muito disso, por conta do 'abandono' desta área por certo período do ensino no Brasil. A formação não se basta na licenciatura ou em uma área específica (pedagogia, matemática, leitura, escrita, inclusão, tecnologia na educação etc.), ela é contínua, com o sujeito se permitindo estudar tudo quanto possível. Não se chega em um ponto e pronto, é preciso acompanhar as mudanças externas, se arriscar, se permitir à autoria e mudar a si e o que o cerca.

Em um dos documentos da SBB [licenciatura, p.83] que trata de contribuições para o currículo de matemática, há a sugestão de uma proposta de disciplinas para o Curso de Licenciatura em Matemática dividido em oito períodos, em que na formação científica aparecem, entre outras: Geometria Analítica e Geometria I no 1º período e Geometria II no 2º período; e da prática como componente curricular no 3º período, a disciplina 'O Ensino de Geometria' (ensino e história da matemática).

No mesmo documento, há uma descrição pertinente que trata da representação de algumas situações dadas por licenciandos em matemática, observadas por Ball. Aos estudantes é proposto que procurem desenvolver uma representação para a divisão envolvendo frações; da análise dos resultados a autora indica que a dificuldade em apresentar representações adequadas se deve principalmente à "concepção de que a Matemática a ser trabalhada no Ensino Básico é 'simples demais' para se constituir em objeto de cursos universitários''. [licenciatura, p.09]

A deficiência na formação do professor é um dos fatores que contribui para o ensino e consequente aprendizagem, superficiais de geometria. O professor prioriza conteúdos de outras áreas, repete os mesmos conteúdos de geometria por várias séries, não relaciona as áreas de ensino da matemática, raramente apresenta algo para além do livro didático, prioriza o `decorar' de fórmulas sem que o(a) estudante compreenda sua origem ou como interpretar e inferir propostas para resolver problemas.

O documento que trata sobre a reformulação do Ensino Médio e as áreas do conhecimento, aponta para a competência representação e comunicação como uma das metas que precisam ser alcançadas, no sentido de complementar o Ensino Fundamental. Indica uma série de expectativas e capacidades necessárias aos estudantes nas disciplinas; especificamente, quanto aos objetivos para que o ensino de Matemática no nível médio resulte em aprendizagem real e significativa, estabelece que uma das finalidades é "reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações''. [Brasil, p.42]

A palavra 'representação' e outras derivações com mesmo significado geral ou aproximação, aparecem constantemente em documentos escolares: planos de aula, componentes curriculares, orientações de ensino, PCN, e outros; mas o entendimento e aplicação adequados de representações em Matemática, e em específico na geometria, estão distantes da compreensão necessária para melhor explorar as práticas de ensino e de aprendizagem.

Charles Bastos

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