Em seus estudos de matemática (em específico ao conteúdo de equações), houve algum momento em que um professor ou colega lhe veio com a expressão "pula a cerquinha e troca o sinal"?
Nessa, o símbolo igual $(=)$ se tornou cerca, e o ato de passar um número para o 1º ou para o 2º membro faz com que ele pule a cerca.
Ah! Não esqueça de trocar o sinal. E então, são letras de um lado e números do outro, junta tudo e pronto, achei o $x$!
Será que é isso mesmo? Vamos conferir!
Princípio de Equivalência
O que é Equivalência? Diz-se, em matemática, que equivalência significa igualdade. Uma igualdade indica que o valor do que vem antes dela (1º membro) é o mesmo do que vem depois dela (2º membro).
O princípio aditivo da igualdade indica que em uma igualdade matemática se adicionarmos um número qualquer nos dois membros da igualdade, obteremos uma igualdade equivalente à original. Exemplo:
Se $3 + 1 = 4$, então $3 + 1 + 9 = 4 + 9 \Rightarrow 13 = 13$.
Isso se aplica também à subtração; observe que, por exemplo, subtrair $5$ é o mesmo que adicionar o simétrico de $5$, ou é, adiciona-se $(- 5)$.
Se $9 + 2 = 11$, então $9 + 2 + (-5) = 11 + (-5) \Rightarrow 6 = 6$.
O princípio multiplicativo da igualdade indica que em uma igualdade matemática se multiplicamos um número qualquer (diferente de zero) nos dois membros, obteremos uma igualdade equivalente à original.
Se $3 + 1 = 4$, então $(3 + 1) \cdot 5 = 4 \cdot 5 \Rightarrow 20 = 20$.
Isso se aplica também à divisão, observe que, por exemplo, dividir por $2$ é o mesmo que multiplicar pelo inverso de $2$, ou é, multiplica-se por $\left (\cfrac{1}{2} \right )$.
Se $3 + 1 = 4$, então $(3 + 1) \cdot \left (\cfrac{1}{2}\right ) = 4 \cdot \left ( \cfrac{1}{2} \right ) \Rightarrow 2 = 2$.Confira o exemplo a seguir, nele foi utilizado o princípio de equivalência:
$5x + 4 = 19$, adicione $(-4)$ aos dois membros.
$5x + 4 + (- 4) = 19 + (- 4)$
$5x + 4 - 4 = 19 - 4$
$5x = 15$, multiplique os dois membros por $ \left (\cfrac{1}{5}\right )$.
$5x \cdot \left (\cfrac{1}{5} \right ) = 15 \cdot \left (\cfrac{1}{5}\right )$
$\left (\cfrac{5x}{5}\right ) = \left ( \cfrac{15}{5}\right )$
$x = 3$
Os livros didáticos (a partir da 6ª série/7º ano) costumam utilizar o princípio na resolução de equações do 1º grau com uma incógnita a partir de dois procedimentos:
a) por meio das operações inversas;
b) pela ideia de equilíbrio da igualdade (uso de balanças);
Os procedimentos a) e b) na verdade são justamente os princípios de equivalência aditivo e multiplicativo.
Igual nunca foi Cerquinha!
Em mais esta postagem, que remete em específico o conteúdo de equação do 1º grau, alerto para a questão da falta da coerência com a teria e nas teorizações populares que podem contribuir para ampliar as dificuldades em se aprender matemática e para a mecanização de procedimentos, sem o devido entendimento de sua aplicabilidade.
Referências e sugestões de leitura
[1] DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 3ª edição. Editora Ática, São Paulo, 2009. (referência)
[2] Equação Equivalente. (sugestão de leitura)[3] Princípio de Equivalência. (sugestão de leitura)
[4] Princípios de Equivalência. (sugestão de leitura)
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