Critérios de divisibilidade por qualquer número primo maior que 11

Já que existem critérios de divisibilidade por $3$, $5$, $7$, e $11$, o presente trabalho tem como objetivo mostrar uma regra de divisibilidade (ou Regra de Sebá) por qualquer número primo maior que $11$. Já que existem as calculadoras, o trabalho não traz nenhuma contribuição prática para os leitores (ou alunos). Se o trabalho tivesse sido escrito numa época em que não existiam as calculadoras, com certeza, seria uma grande contribuição ao ensino da matemática. Escrevi o trabalho apenas como curiosidade.

Seja $N$ o número dado e verificar se $N$ é divisível por um número primo $p > 11$. 

Passo 1: Se $p$ terminar em $3$, $7$ ou $9$, multiplique $p$, respectivamente, por $7$, $3$ e $9$, subtraia $1$ e divida a diferença por $10$; Se $p$ terminar em $1$, subtraia $1$ de $p$ e divida a diferença por $10$. Ambos os quocientes vamos designar por $y$. 

Passo 2: Multiplique $y$ pelo último algarismo de $N$ e subtraia de $N$ sem o último algarismo. Se a diferença for grande, de tal maneira que não seja possível reconhecer facilmente se é divisível por $p$, repete-se o processo até que seja possível reconhecer facilmente a divisão por $p$. 

Observação: Se o último algarismo da diferença vezes $y$ for maior que o número sem o último algarismo, encerra-se o processo, e verifica se a diferença é divisível por $p$. 

Fórmulas Para Critérios de Divisibilidade 

1º) $y = \cfrac {(p -1)}{10}$ (se p terminar em $1$)

2º) $y = \cfrac {(7p -1)}{10}$ (se p terminar em $3$)

3º) $y = \cfrac {(3p -1)}{10}$ (se p terminar em $7$)

4º) $y = \cfrac {(9p -1)}{10}$ (se p terminar em $9$)

Exemplos

Exemplo 1: Verificar se $N = 28.561$ é divisível por $p = 13$.

Passo 1: Como $p$ termina em $3$, vamos utilizar a 2ª fórmula: $y = \cfrac {(7p -1)}{10} = \cfrac {(7 \cdot 13 -1)}{10}= 9 $

Passo 2: Vamos chamar de $u$ o último algarismo do número $N$. Desta forma, para o $N = 28.561$, teremos $u = 1$. Assim, multipliquemos $y$ por $u$, obtém-se:
$y \cdot u = 9 \cdot 1 = 9$

Agora, tomemos o número $N$ sem o último algarismo e subtraíamos deste, o resultado de $y \cdot u$, obtendo:
$2.856 - 9 = 2.847$

(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo de $N$ vezes $y$) $=$ diferença.

Como $2.847$ ainda é um número grande, repetimos o processo:
$284 - 63 = 221$

(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo de $N$ vezes $y$) $=$ diferença.

Como $221$ ainda é um número grande, repetimos o processo:
$22 - 9 = 13$

(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo de $N$ vezes $y$) $=$ diferença.

Como a diferença é divisível por $13$, logo, $28.561$ é divisível por $13$. 

O curioso é que as diferenças $2.847$ e $221$ são divisíveis por $13$:
$\cfrac {2.847}{13} = 219$ e $\cfrac {221}{13} = 17$

Exemplo 2: Verificar se $N = 12.167$ é divisível por $p = 23$. 

Passo 1: como $p$ termina em $3$, use a 2ª fórmula:
$y = \cfrac {(7p -1)}{10}= \cfrac {(7 \cdot 23 - 1)}{10} = 16$

Passo 2: Chamemos de $u$ o último algarismo do número $N$. Desta forma, para o $N = 12.167$, teremos $u = 7$. Assim, multiplicando $y$ por $u$, obtém-se:
$y \cdot u = 16 \cdot 7 = 112$.

Agora, tomemos o número $N$ sem o último algarismo e subtraíamos $112$ dele, obtém-se:
$1.216 - 112 = 1.104$.

(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo de $N$ vezes $y$) $=$ diferença.

Como $1.104$ ainda é um número grande, repitamos o processo:
$110 - 64 = 46$

(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo de $N$ vezes $y$) $=$ diferença.

Como o último algarismo da diferença é $6$ e $y = 16$, logo $6y = 6 \cdot 16 = 96 > 4$ (número sem o último algarismo). Encerra-se o processo. Já que $46$ é divisível por $23$, logo $12.167$ é divisível por $23$. Caso repetíssemos o processo com a diferença $46$, teríamos:
$4 - 96 = - 92$.

(número $N$ sem o último algarismo) $-$ (último algarismo vezes $16$) $=$ diferença.

A diferença $– 92$ também é divisível por $23$, mas aumentamos o tempo computacional, acrescentando mais uma operação. 

Dispositivo Prático: 

$12.167$ (descarta o último algarismo) $-$ $112$ (último algarismo vezes $16$) $= 1.104$
$1.104$ (descarta o último algarismo) $-$ $64$ (último algarismo vezes $16$) $= 46$

Exemplo 3: Verificar se $N = 923.521$ é divisível por $p = 31$. 

Passo 1: Como $p$ termina em $1$, usaremos a 1ª fórmula:
$y = \cfrac {(p-1)}{10} = \cfrac {(31 -1)}{10}=3$.

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:
Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.

$923.521 - 3 = 92.349$
$92.349 - 27 = 9.207$
$9.207 - 21 = 899$
$899 - 27 = 62$
$62 - 6 = 0$

Como a diferença é divisível por $31$, logo, $923.521$ é divisível por $31$. 

Exemplo 4: Verificar se $N = 68.921$ é divisível por $p = 41$. 

Passo 1: como $p$ termina em $3$, usaremos a 1ª fórmula:
$y = \cfrac {(p-1)}{10}= \cfrac{(41 -1)}{10}=4$

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:

Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.
$68.921 - 4 = 6.888$
$6.888 - 32 = 656$
$656 - 24 = 41$

Como a diferença é divisível por $41$, logo, $68.921$ é divisível por $41$. 

Exemplo 5: Verificar se $N = 83.521$ é divisível por $p = 17$. 

Passo 1: Como $p$ termina em $7$, usaremos a 3ª fórmula:
$y = \cfrac{(3p -1)}{10}= \cfrac{(3 \cdot 17 -1)}{10}=5$.

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:
Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.

$83.521 - 5 = 8.347$
$8.347 - 35 = 799$
$799 - 45 = 34$

Como o último algarismo da diferença é $4$ e $y = 5$, logo, $4 \cdot 5 = 20 > 3$. Encerra-se o processo. Já que $34$ é divisível por $17$, logo, $83.521$ é divisível por $17$. Caso repetíssemos o processo, teríamos:

$34 - 20 = - 17$

A diferença $–17$ também é divisível por $17$, mas aumentamos o tempo computacional. 

Exemplo 6: Verificar se $N = 50.653$ é divisível por $p = 37$. 

Passo 1: Como $p$ termina em $7$, usaremos a 3ª fórmula:
$y = \cfrac{(3p - 1)}{10}= \cfrac {(3 \cdot 37 - 1)}{10}=11$.

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:
Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.

$50.653 - 33 = 5.032$
$5.032 - 22 = 481$
$481 - 11 = 37$

Como a diferença $37$ é divisível por $37$, logo, $50.653$ é divisível por $37$. 

Exemplo 7: Verificar se $N = 130.321$ é divisível por $p = 19$. 

Passo 1: Como $p$ termina em $9$, utilizaremos a 4ª fórmula:
$y = \cfrac {(9p - 1)}{10}= \cfrac {(9 \cdot 19 - 1)}{10} = 17$.

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:
Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.

$130.321 - 17 = 13.015$
$13.015 - 85 = 1.216$
$1.216 - 102 = 19$

Como a diferença $19$ é divisível por $19$, logo, $130.321$ é divisível por $19$. 

Exemplo 8: Verificar se $N = 707.281$ é divisível por $p = 29$. 

Passo 1: Como $p$ termina em, use a 4ª fórmula:
$y = \cfrac{(9p - 1)}{10} = \cfrac {(9 \cdot 29 -1)}{10} = 26$.

Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:
Observe que o algarismo em destaque é descartado ao realizar o procedimento.

$707.281 - 26 = 70.702$
$70.702 - 52 = 7.018$
$7.018 - 208 = 493$
$493 - 78 = - 29$

Como a diferença $– 29$ é divisível por $29$, logo, o número $707.281$ é divisível por $29$. Note que o último algarismo da 3ª diferença é $3$ e $y = 26$, logo: $3 \cdot 26 = 78 > 49$. Deveríamos encerrar o processo.

Se tivéssemos encerrado o processo na terceira diferença, teríamos que verificar se $29$ divide $493$. Sem calculadora gastaríamos mais tempo na divisão do que subtrair $78$ de $49$. Foi por isso que continuamos o processo.

Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br