Não há receita única na Matemática?
Não há receita única na matemática! Um mesmo bolo, pode ser feito com diferentes ingredientes por diferentes modos. |
O fato de resolver um problema por um ou por outro processo demanda conhecimento de "ferramentas" na matemática e de sua manipulação. Quanto maior envolvimento com a matemática, possivelmente será maior o conhecimento sobre estas "ferramentas" (conceitos, proposições, definições, teoremas, etc.) e isso é um fator determinante pela simplicidade ou não na busca pela solução.
Uma questão importante ao se estudar matemática é não negar diferentes procedimentos para o mesmo fim, desde que estes sejam corretos; e mesmo quanto incorretos, procurar compreender em que se está errando. Mais ainda, procurar fazer uso do maior número de "ferramentas" da matemática até que estas sejam assimiladas.
Vejo que o estudante de matemática (para a maioria deles) é preciso ter o hábito do exercitar, do repetir, algo quase como um estudo mecânico, mas que às vezes carece da curiosidade, da determinação em resolver um problema. Não se deve esperar uma fórmula única ou pronta para todos os problemas.
Em cada exercícios poderá haver uma diferente demanda de conhecimentos associados e o que creio ser mais importante, é chegar a uma solução correta utilizando procedimentos corretos; é claro que a escolha de "ferramentas" que simplifiquem e demandem menor tempo para a solução correta é de destaque, mas não diminuir outras soluções corretas.
Quando se está estudando, o professor até pode indicar que determinados exercícios sejam resolvidos utilizando-se especificamente determinados procedimentos e conceitos, é ofício de aprendizagem lidar com restrição e com determinações. Mas esta não pode ser a metodologia única, é preciso permitir que o estudante caminhe sozinho, que ele procure por diferentes procedimentos e que utilize diversas "ferramentas".
Um Problema
O PROFMAT (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) está definido no artigo 1º de seu regimento como um programa de pós-graduação stricto sensu em Matemática.
Durante o curso do PROFMAT os estudantes passam por uma avaliação geral, critério para continuar e terminar o mestrado que é o ENQ (Exame Nacional de Qualificação). Este exame tem tido a característica de trazer 8 questões versadas nas disciplinas básicas do curso (MA11 - Números e Funções Reais, MA12 - Matemática Discreta, MA13 - Geometria e MA14 - Aritmética).
O problema que ilustra a manipulação algébrica e apresenta duas propostas de solução é parte de uma das questões do ENQ 2019:
[PROFMAT - ENQ - Questão 3 (a)] Sabendo que $u$ e $v$ são raízes reais da equação $x^2+bx+c=0$, onde $b$, $c$ $\in$ $\mathbb{R}$, encontre: (a) Uma equação do segundo grau, com coeficientes dados em função de $b$ e $c$, que tenha como raízes $u^2$ e $v^2$.
Apresentamos três procedimentos para uma solução que estão baseados numa mesma proposta, o que as distingue é talvez o olhar de quem se propôs a resolvê-la.
As duas primeiras sugestões de soluções utilizam uma mesma proposição de que para equações do tipo $x^2-bx+c=0$ tem-se as raízes reais $b=x_1+x_2$ e $c=x_1 \cdot x_2$ [Relações de Albert Girard]. Então, a diferença fica por conta de que na primeira solução usou-se do método resolutivo de equações do 2º grau [conhecido por fórmula de Bhaskara] e na segunda solução usou-se produtos notáveis.
É evidente que pela simplicidade na manipulação algébrica a segunda proposta é simples e direta. E o problema discutido abaixo pede maior raciocínio em menor tempo, dado o contexto em que ele foi aplicado.
Teremos:
$u^{2}=\frac{b^{2}+2b\sqrt{b^{2}-4c}+(b^{2}-4c)}{4}\Leftrightarrow u^{2}=\frac{2b^{2}+2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4}$
e
$v^{2}=\frac{b^{2}-2b\sqrt{b^{2}-4c}+(b^{2}-4c)}{4}\Leftrightarrow v^{2}=\frac{2b^{2}-2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4}$
A equação pedida seria do tipo $x^{2}+Bx+C=0$ com $B=-(u^{2}+v^{2})$ e $C=u^{2}v^{2}$
$B=-(u^{2}+v^{2})$
$B=-\left(\frac{2b^{2}+2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4}+\frac{2b^{2}-2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4}\right) = \frac{-4b^{2}+8c}{4}=2c-b^{2}$
e
$C=u^{2}v^{2}$
$C=\left(\frac{2b^{2}+2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4}\right) \cdot \left( \frac{2b^{2}-2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4} \right)$
$C=\frac{4b^{4}-4b^{3}\sqrt{b^{2}-4c}-8b^{2}c+4b^{3}\sqrt{b^{2}-4c}-4b^{2}(b^{2}-4c)-8bc\sqrt{b^{2}-4c}-8b^{2}c+8bc\sqrt{b^{2}-4c}+16c^{2}}{16}$
$C= \frac{4b^{4}-16b^{2}c-4b^{4}+16b^{2}c+16c^{2}}{16}=c^{2}$
Portanto, a equação pedida $x^{2}+Bx+C=0$ em termos de $b$ e $c$ é:
A equação pedida seria do tipo $x^{2}+Bx+C=0$ com $B=-(u^{2}+v^{2})$ e $C=u^{2}v^{2}$. Então,
$\begin{cases} -(u+v)=b \\ u \cdot v=c \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u^2+2uv+v^2=b^2 \\ u^2 \cdot v^2 = c^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u^2+2c+v^2=b^2 \\ u^2 \cdot v^2 = c^2 \end{cases}$
$\begin{cases} u^2+v^2=b^2-2c \\ u^2 \cdot v^2 = c^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -B=b^2-2c \\ C = c^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} B=2c-b^2 \\ C = c^2 \end{cases}$
Portanto, a equação pedida $x^{2}+Bx+C=0$ em termos de $b$ e $c$ é:
Então, para termos $u^{2}=4$ e $v^{2}=9$, devemos ter a equação $x^{2}+Bx+C=0$ que de acordo com as propostas de solução acima fornecem $B=2c-b^2$ e $C = c^2 $,
$B=2c-b^2 = 2 \cdot 6 - 5^{2}= 12 - 25 = - 13$.
$C=c^{2}=6^{2}=36$.
E assim, a equação que fornece $u^{2}$ e $v^{2}$ é $x^{2}-13x+36=0$.
Basta verificar que as soluções desta equação são $x_1=4$ e $x_2=9$, justamente $u^{2}$ e $v^{2}$.
As duas primeiras sugestões de soluções utilizam uma mesma proposição de que para equações do tipo $x^2-bx+c=0$ tem-se as raízes reais $b=x_1+x_2$ e $c=x_1 \cdot x_2$ [Relações de Albert Girard]. Então, a diferença fica por conta de que na primeira solução usou-se do método resolutivo de equações do 2º grau [conhecido por fórmula de Bhaskara] e na segunda solução usou-se produtos notáveis.
É evidente que pela simplicidade na manipulação algébrica a segunda proposta é simples e direta. E o problema discutido abaixo pede maior raciocínio em menor tempo, dado o contexto em que ele foi aplicado.
Proposta de solução 1:
Se $u$ e $v$ são raízes reais da equação $x^2+bx+c=0$, então, com $a=1$ suponha $u=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4c}}{2}$ e $v=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4c}}{2}$.Teremos:
$u^{2}=\frac{b^{2}+2b\sqrt{b^{2}-4c}+(b^{2}-4c)}{4}\Leftrightarrow u^{2}=\frac{2b^{2}+2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4}$
e
$v^{2}=\frac{b^{2}-2b\sqrt{b^{2}-4c}+(b^{2}-4c)}{4}\Leftrightarrow v^{2}=\frac{2b^{2}-2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4}$
A equação pedida seria do tipo $x^{2}+Bx+C=0$ com $B=-(u^{2}+v^{2})$ e $C=u^{2}v^{2}$
$B=-(u^{2}+v^{2})$
$B=-\left(\frac{2b^{2}+2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4}+\frac{2b^{2}-2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4}\right) = \frac{-4b^{2}+8c}{4}=2c-b^{2}$
e
$C=u^{2}v^{2}$
$C=\left(\frac{2b^{2}+2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4}\right) \cdot \left( \frac{2b^{2}-2b\sqrt{b^{2}-4c}-4c}{4} \right)$
$C=\frac{4b^{4}-4b^{3}\sqrt{b^{2}-4c}-8b^{2}c+4b^{3}\sqrt{b^{2}-4c}-4b^{2}(b^{2}-4c)-8bc\sqrt{b^{2}-4c}-8b^{2}c+8bc\sqrt{b^{2}-4c}+16c^{2}}{16}$
$C= \frac{4b^{4}-16b^{2}c-4b^{4}+16b^{2}c+16c^{2}}{16}=c^{2}$
Portanto, a equação pedida $x^{2}+Bx+C=0$ em termos de $b$ e $c$ é:
$x^{2}+(2c-b^{2})x+c^2=0$
Proposta de solução 2:
Numa proposta similar, mas simplificada temos:A equação pedida seria do tipo $x^{2}+Bx+C=0$ com $B=-(u^{2}+v^{2})$ e $C=u^{2}v^{2}$. Então,
$\begin{cases} -(u+v)=b \\ u \cdot v=c \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u^2+2uv+v^2=b^2 \\ u^2 \cdot v^2 = c^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u^2+2c+v^2=b^2 \\ u^2 \cdot v^2 = c^2 \end{cases}$
$\begin{cases} u^2+v^2=b^2-2c \\ u^2 \cdot v^2 = c^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -B=b^2-2c \\ C = c^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} B=2c-b^2 \\ C = c^2 \end{cases}$
Portanto, a equação pedida $x^{2}+Bx+C=0$ em termos de $b$ e $c$ é:
$x^{2}+(2c-b^{2})x+c^2=0$
Proposta de solução 3:
Seja $u$ uma raiz da equação $x^2 +bx+c = 0$. Então tem-se, $u^2+bu+c$, ou seja $-bu = u^2 +c$, logo $(-bu)^2=u^4+2u^2c+c^2$. Portanto $u^4 + (2c-b^2)u^2+c^2=0$. Segue-se que $u^2$ é raiz da equação $x^2 + (2c-b)x + c^2 = 0$. (Solução proposta no gabarito oficial do ENQ).
Um exemplo
Seja $x^{2}+bx+c=0$ a equação $x^{2}-5x+6=0$, temos que $b=-5$ e $c=6$, por algum processo obtemos as raízes $u=2$ e $v=3$.Então, para termos $u^{2}=4$ e $v^{2}=9$, devemos ter a equação $x^{2}+Bx+C=0$ que de acordo com as propostas de solução acima fornecem $B=2c-b^2$ e $C = c^2 $,
$B=2c-b^2 = 2 \cdot 6 - 5^{2}= 12 - 25 = - 13$.
$C=c^{2}=6^{2}=36$.
E assim, a equação que fornece $u^{2}$ e $v^{2}$ é $x^{2}-13x+36=0$.
Basta verificar que as soluções desta equação são $x_1=4$ e $x_2=9$, justamente $u^{2}$ e $v^{2}$.
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