Quando um triângulo é classificado como retângulo?

Triângulo

É um polígono de três lados e três ângulos internos. Podemos definir também por:

Dados três pontos A, B e C, no plano e estes pontos não-colineares (não pertencem a uma mesma reta), a figura formada pelos segmentos AB, BC e AC chamamos de triângulo.

Propriedades

# Num triângulo qualquer, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º;

# Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulo internos não adjacentes a ele;

# O segmento ligando os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem a metade do seu comprimento;

# A soma dos comprimentos de dois lados de um triângulo é maior que o comprimento do terceiro lado.

Classificação quanto aos lados

Equilátero - Possui três lados iguais e os três ângulos internos congruentes.

Isósceles - Possui dois lados iguais e os ângulos da base são congruentes.

Escaleno - Possui os três lados e os 3 ângulos internos diferentes.

Classificação quanto aos ângulos

Acutângulo - Possui os ângulos internos agudos (menores que 90º).

Equiângulo - Possui os ângulos internos com mesma medida (congruentes - 60º).

Retângulo - Possui um ângulo reto. [Caso de estudo neste post!]

Obtusângulo - Possui um ângulo obtuso (maior que 90º).

O Triângulo Retângulo dos Egípcios

A construção de pirâmides de base quadrada é uma das muitas aplicações do conhecimento geométrico dos antigos egípcios, que usavam um processo prático para obter "cantos" retos (ângulos retos).

Usando uma corda com 12 nós, os egípcios parecem ter construído um triângulo retângulo particular para obter "cantos" em ângulos retos. Nesse triângulo, cujos lados media 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades de comprimento, o ângulo formado pelos dois lados menores é um ângulo reto.

O Esquadro

O esquadro é um instrumento de desenho utilizado em obras civis e que também pode ser usado para fazer linhas retas verticais com precisão para 90°.

Existem diversos tipos de esquadros: o primeiro, com o formato de um triângulo retângulo isósceles de 45º, 45º, 90º; o segundo, com o formato de um triângulo retângulo escaleno de 30º, 60º, 90º. Quanto ao tamanho, ou se tem ou não escala, depende das funções que se quer explorar com o instrumento. Para quem não sabe fazer transferência de ângulos, existe um tipo de esquadro que é adaptável com um transferidor, permitindo fazer qualquer ângulo. Em engenharia civil é utilizado para verificação de ângulos da paredes.

Há notícia de que os primeiros a utilizar o esquadro foram os egípcios, tendo em vista que suas pirâmides são compostas de pedras perfeitamente esquadrejadas e com as bases perfeitamente esquadrejadas. Os egípcios descobriram que utilizando-se uma corda marcada em intervalos iguais e tomando-se as medidas 3, 4 e 5 para os lados de um triângulo, obtinham um triângulo retângulo, onde os catetos menores eram os lados de 3 e 4 unidades e a hipotenusa o lado maior. Assim, usavam essas medidas para confeccionar triângulos de madeira com a forma muito parecida com os esquadros que conhecemos hoje em dia, utilizando os mesmos para manter a perfeição de suas construções. [Esquadro].

O Teorema de Pitágoras

O filósofo e matemático grego Pitágoras, por volta do século VI a.C.,fundou uma escola mística secreta, chamada Escola Pitagórica. Nela, a ciência era considerada um bem comum e todos pesquisavam e discutiam coletivamente. Por isso, as contribuições científicas conquistadas não possuíam autorial individual.

Para a formação desse famoso teorema, é possível que Pitágoras e seus discípulos tenham se baseado nos conhecimentos geométricos dos egípcios e em mosaicos que apareciam com frequência em paredes das construções do Egito antigo.

Em verdade, pesquisas indicam muito provavelmente, já havia conhecimento de que em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado das medidas dos catetos. o Plimpton 322, tablete de argila encontrado na Babilônia, contém sequências de números correspondentes às "ternas pitagóricas", muito antes de Cristo. 

Aqui vale cuidar para não atribuir tão só a Pitágoras o "Teorema de Pitágoras"; sobre tal tema há uma leitura recomendada num post deste blog [O Teorema é do Pitágoras?] da Revista Cálculo.

Na figura que inaugura este post, há um combinado de imagens cada uma formada por três quadrados, dessa figura temos que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Esta organização é vista na imagem ao lado, dos três quadrados, em que a área do quadrado azul é igual a soma das áreas dos quadrados verde e vermelho.

O Teorema de Pitágoras pode ser enunciado por: Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos; e assim, temos a relação:

hipotenusa$^2$ $=$ cateto$^2$ $+$ cateto$^2$

$a^2 = b^2 + c^2$

Observe o triângulo em preto entre os lados dos três quadrados, ele é um triângulo retângulo. Verifique na indicação que o maior dos lados é a hipotenusa e os outros dois são os catetos.

A demonstração desta relação é atribuída a Pitágoras. Uma descoberta inicialmente restrita ao triângulo retângulo isósceles, estendeu-se para todo triângulo retângulo.

Muito mais por estudar!

Existe ainda muito mais por ler [estudar] sobre o triângulo retângulo, alguns estudos seguem em tópicos. Quem sabe, em breve poderão haver outros posts tratando de mais tópicos relacionados. Nas indicações de leitura, boa parte destes tópicos já são contempladas. Havendo interesse pesquise, leia, estude...

# Demonstrações do Teorema de Pitágoras;

# Relações métricas no triângulo retângulo;

# Relações trigonométricas no triângulo retângulo;

# História do matemático Pitágoras;

# Aplicações do Teorema de Pitágoras;

# (...)

O Problema do Bambu Quebrado

A história documentada da matemática chinesa começa por volta de 1500 a.C., com algumas inscrições em ossos e carapaças de tartaruga. O mais importante texto de matemática chinesa antigo é o Chiu Chang Suan Shu ou Nove Capítulos sobre a arte da Matemática. O livro é de autor desconhecido e contém 246 problemas, a maior parte deles envolvendo situações práticas.

O famoso problema do "bambu quebrado", que aparece no último capítulo desse livro, apresenta o seguinte texto: "Um bambu com 1 zhang de altura partiu-se, e a parte de cima tocou o chão a 3 chih da base do bambu. Qual é a altura da quebra? (Nota: 1 zhang = 10 chih)."

No século XII, o matemático hindu Bhaskara publicou o mesmo poblema assim: "Se um bambu de 32 cúbitos de altura é quebrado pelo vento de modo que a ponta encontra o chão a 16 cúbitos da base, a que altura a parir do chão ele foi quebrado?"

A resposta deste problema pode vir a partir da relação do Teorema de Pitágoras. Que tal você resolvê-lo? Ele é bem simples!

Referências e Sugestões de Leitura

[1] Esquadro. [Wikipédia].

[2] História e Vida de Pitágoras / Demonstração do Teorema de Pitágoras. [Blog Vivendo Entre Símbolos]

[3] O Teorema é do Pitágoras? [Post neste blog].

[4] Livro Pitágoras e Seu Teorema. / O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides. [Blog O Baricentro da Mente].

[5] A Árvore Fractal de Pitágoras. / Provas do Teorema de Pitágoras [vários posts] (parte1, parte2, parte3, parte4, parte5, parte6, parte7, parte8, parte9, parte10) [Blog Fatos Matemáticos].

[6] Calculadora para o Teorema de Pitágoras.  [Blog Prof. Edigley Alexandre].

[7] Teorema de Pitágoras. [Monografia - Juliane Amaral de Oliveira].

[8] O Teorema de Pitágoras e as Relações Métricas no Triângulo Retângulo com Material Emborrachado. [Artigo]

[9] Teorema de Pitágoras. [Monografia de Ligia Bressiani].

[10] CASTRUCCI, Benedicto. Giovanni Jr., José Ruy. A Conquista da Matemática. 8º ano. Editora FTD. São Paulo, 2009.