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Uma demonstração do teorema pitagórico, segundo Euclides

Demonstração resumida do teorema de Pitágoras, de acordo com a referência de EVES.
Nestes dias de férias, em que aproveito para organizar algumas leituras sobre representaçõeshistória da matemática e linha por linha escrever uma dissertação, resolvi por registrar um teorema já muito referenciado na web, mas que creio ter ficado bem legal.


Teorema Pitagórico - Proposição 47, livro I de Euclides


Um teorema muito conhecido e explorado em matemática, no ensino básico é o Teorema de Pitágoras, que conforme Howard Eves (p. 53) é enunciado: "O quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos" (Proposição 47, livro I de Euclides). Historicamente, existem fatos que indicam o conhecimento de tal teorema muito antes de Pitágoras; já escrevi sobre tal fato antes em "O teorema é ou não é do Pitágoras?".

Reproduz-se a seguir, uma demonstração próxima a que foi descrita Euclides, de acordo com a referência base deste texto:

Matemática: Uma demonstração do teorema pitagórico, segundo Euclides
Imagem construída com o software Geogebra - Base utilizada na demonstração.

Suponhamos que o $\angle BAC$ da figura acima seja o ângulo reto do $\triangle ABC$. Os quadrados $BCDE$, $ABFG$ e $ACHK$ são construídos sobre os respectivos lados do $\triangle ABC$. Seja $AL$ o segmento traçado paralelo a $BE$ (ou identicamente, $CD$).

Mostra-se que os pontos $C$, $A$, $G$ assim como os pontos $B$, $A$, $K$ são colineares:
$G\widehat {A}C = G\widehat {A}B + B\widehat {A}C = 180º$ e
$B\widehat {A}K = B\widehat {A}C + C\widehat {A}K = 180º$.

Então se prova que o $\triangle ABE$ é congruente ao $\triangle FBC$, pelo caso $L.A.L.$ de congruência (Proposição 4, livro I de Euclides):
$AB\equiv BF$;
$A\widehat {B}E = C\widehat {B}E+C\widehat {B}A = 90º + C\widehat {B}A = F\widehat {B}A+C\widehat {B}A = F\widehat {B}C \Rightarrow A\widehat {B}E \equiv F\widehat {B}C$;
$BC\equiv BE$.

O paralelogramo $BELM$ é o dobro (tem o dobro da medida da área) do $\triangle ABE$ e o quadrado $ABFG$ é o dobro (tem o dobro da medida da área) do $\triangle BCF$, portanto o paralelogramo $BELM$ é igual (mesma medida de área) ao quadrado $ABFG$. (Proposição 34, livro I de Euclides)

Analogamente, prova-se que o paralelogramo $CDLM$ é igual (mesma medida de área) ao quadrado $ACHK$. Por conseguinte o quadrado $BCDE$, formado pelos dos paralelogramos $BELM$ e $CDLM$, é igual (mesma medida de área) aos dois quadrados $ABFG$ e $ACHK$. Conforme se queria demonstrar. 




O arquivo da imagem que ilustra a construção usada para demonstrar o teorema se encontra no GeogebraTube: TICs Na Matemática.




Referências


  • Base para este artigo: 
EVES, Howard. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula. Geometria. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual. Volume 3, 2014.

  • Outras referências sobre o mesmo tema:
O Baricentro da Mente: O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides – A Proposição I-47 (a mesma demonstração, apresentada de modo detalhado).



Vivendo Entre Símbolos: Demonstração do Teorema de Pitágoras.

  • Vídeos:
Demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=_UwKf3N-5Sc, acesso em 29 dez 2015.

Demonstração de Bhaskara do teorema de Pitágoras. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=NYvUD5S6NRI, acesso em 29 dez 2015.



Charles Bastos

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2 comentários:

  1. Excelente Charles. Mais uma ótima referência na internet sobre o teorema mais famoso da matemática.

    Um forte abraço!

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    1. A demonstração aqui está breve, sem muita discussão. A sua demonstração que foi referenciada é mais detalhada. Reproduzi algo bem próximo ao que consta em EVES. A questão principal do trabalho que estou organizando é quanto às representações no ensino e na aprendizagem.

      Quando terminei de organizar, achei legal o resultado e resolvi compartilhar por aqui, apesar das inúmeras demonstrações já disponíveis.

      Obrigado novamente por sua presença. Abraço!

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