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Mais uma planilha no Excel, agora sobre matemática financeira!

Confira nesta planilha no Excel alguns cálculos sobre matemática financeira: juros, amortização, prestação, parcelas, taxas de equivalência.
Esta planilha confeccionada no Excel retrata sobre uma matemática em que não há dúvidas sobre sua aplicação: a Matemática Financeira. Praticamente todo comércio utiliza-se destes cálculos. Os bancos trabalham com muitos outros cálculos referentes a essa área da Matemática. Infelizmente uma área pouco explorada no nível médio e praticamente nula no ensino fundamental.

Mais uma planilha no Excel, agora sobre matemática financeira!

Escolhi 4 cálculos e apresento seus resultados a partir das quantidades conhecidas:

[1] Juros compostos.
[2] Juros simples.
[3] Taxas equivalentes.
[4] Valor de série ou anuidade ou renda.

Para cada um destes blocos é disponibilizado a área em amarelo para dados de entrada. De todos os dados de entrada um deles não deve ser inserido. Será justamente este dado faltando que aparecerá como resultado logo ao lado.

Mais uma planilha no Excel, agora sobre matemática financeira!

O melhor ao editar estas planilhas tem sido a possibilidade de manipular as fórmulas e de aplicar algumas propriedades procurando encontrar os resultados esperados. Isso não é algo aconselhável para se fazer com os alunos, apresentar inúmeras fórmulas como se fossem diferentes, quando na verdade são a manipulação de uma única.

É necessário compreender, como essas fórmulas se dão; identificá-las nas situações propostas. Esta planilha não permite grande aplicação didática, no sentido de experimentação, de manipulação, mas é uma oportunidade de verificar algumas particularidades a respeito do conteúdo e de observar os resultados.


Juros compostos


Uma das importantes aplicações de progressões geométricas é a Matemática Financeira. A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo.

Alguém que dispõe de um capital C, empresta-o a outrem por um certo período de tempo, e após esse período, recebe o seu capital C e volta, acrescido de uma remuneração J pelo empréstimo. Essa remuneração é chamada de juro. A soma C + J é chamada de montante e é representada por M. A razão i = J/C que é a taxa de crescimento do capital, será sempre referida ao período da operação e chamada de taxa de juros.

Os quatro possíveis resultados foram estruturados sob os códigos:

Capital (Ct)
=SEERRO(SE(C7<>"";"---";SE(D7="";"---";SE(E7="";"---";SE(F7="";"---";D7*(1+E7/100)^F7))));"---")

Capital inicial (C0)
=SEERRO(SE(D7<>"";"---";SE(C7="";"---";SE(E7="";"---";SE(F7="";"---";C7/(1+E7/100)^F7))));"")

Taxa (i)
=SEERRO(SE(E7<>"";"---";((C7/D7)^(1/F7)-1)*100);"---")

Período (t)
=SEERRO(SE(F7<>"";"---";LOG(C7/D7;(1+E7/100)));"---")


Juros Simples


A prática de juros simples é rara no cotidiano. O juro simples se equivale ao juro composto quando o período para os dois é 1. Para períodos maiores, os juros compostos crescem mais (geometricamente - PG) e cada vez mais rápido que os juros simples (aritmeticamente - PA).

Juros (J)
=SEERRO(SE(C12<>"";"---";SE(D12="";"---";SE(E12="";"---";SE(F12="";"---";D12*(E12/100)*F12))));"")

Capital inicial (C0)
=SEERRO(SE(D12<>"";"---";C12/((E12/100)*F12));"---")

Taxa (i)
=SEERRO(SE(E12<>"";"---";C12/(D12*F12)*100);"---")

Período (t)
=SEERRO(SE(F12<>"";"---";C12/(D12*(E12/100)));"---")


Taxas Equivalentes


Um erro muito comum é achar que juros de 4% ao mês equivalem a juros anuais de 48% ao ano. Taxas como 4% ao mês e 48% ao ano são chamadas de taxas proporcionais, pois a razão entre elas é igual à razão dos períodos aos quais elas se referem.

Mas taxas proporcionais não são equivalentes. É um péssimo hábito em Matemática Financeira, o de anunciar taxas proporcionais como se fossem equivalentes. Uma frase como "48% ao ano, com capitalização mensal" significa que a taxa usada na operação não é de 48%, mas sim a taxa mensal que lhe é proporcional, ou seja, 4% ao mês, como essa taxa se relaciona à juros compostos, na verdade o juros acumulado após um ano é de aproximadamente 60%.

Taxa em n períodos (I)
=SEERRO(SE(D19="";"---";SE(E19="";"---";((1+D19/100)^(E19)-1)*100));"---")

Taxa relativa - 1 de n períodos (i)
=SEERRO(SE(C19="";"---";SE(E19="";"---";((1+C19/100)^(1/E19)-1)*100));"---")

Quantidade de períodos (n)
=SEERRO(SE(C19="";"---";SE(D19="";"---";LOG((1+C19/100);(1+D19/100))));"---")


Valor de série ou anuidade ou renda


Um conjunto de quantias, referidas a épocas diversas, é chamada de série, ou anuidade ou renda. Se esses pagamentos forem iguais e igualmente espaçados no tempo, a série é dita uniforme.

TEOREMA. O valor de uma série uniforme de n pagamentos iguais a P, um tempo antes do primeiro pagamento, é, sendo i a taxa de juros, igual à fórmula apresentada na imagem acima.

Exemplo. Um bem, cujo preço é R$ 120,00, é vendido em 8 prestações mensais iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra. Se os juros são de 8% ao mês, determine o valor das prestações.

Solução:
Essas prestações são ditas postecipadas, pois a primeira prestação só é paga um tempo depois da compra. Mas observe que se trazemos as prestações para um tempo anterior à primeira prestação, estaremos de acordo com o teorema indicado acima e assim poderemos utilizá-lo.

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Para resolver igualamos os valores P na época 0 (zero) [um tempo antes do primeiro tempo da série de prestações], usando o teorema mencionado antes, obtemos:
120 = P *[1-(1+0,08)^-8]/0,08.
Resolvendo, temos que P = 20,88.


Download


A planilha está disponível para download a partir dos servidores abaixo. Caso queira editar, implementar ou conferir algumas funções da planilha, a senha de desbloqueio é a sequência de 1 a 6.
  • Arquivo originado em: Microsoft Office Excel 2010.


Posts Relacionados


Existem outras duas postagens relacionadas à temática que vale conferir: Estatística e Renda CertaConfiram também as outras Planilhas no Excel confeccionadas e que constam no blog.


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Referência


[1] MORGADO, Augusto César. CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Matemática Discreta. Coleção PROFMAT, SBM, 1ª Edição, Rio de Janeiro, 2014.

Charles Bastos

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4 comentários:

  1. Olá Charles, muito bom o post. Só não entendi no item Valor de série ou anuidade ou renda, quando você diz: um tempo antes do primeiro pagamento; poderia, por favor, dar um exemplo?

    Prof. Sebá

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Claro Sebá... Inclusive vou incluí-lo no post:
      Um bem, cujo preço é R$ 120,00, é vendido em 8 prestações mensais iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra. Se os juros são de 8% ao mês, determine o valor das prestações.
      ____
      Solução:
      (Essas prestações são ditas postecipadas, pois a primeira prestação só é paga um tempo depois da compra.)
      Observe que são duas possibilidades: a) à vista (no tempo zero) pagando R$ 120,00 ou b) à prazo (dos tempos 1 a 8) pagando em 8 prestações iguais (P).
      Para resolver igualamos os valores P na época 0 (zero) [um tempo antes do primeiro tempo da série de prestações], obtemos:
      120 = P *[1-(1+0,08)^-8]/0,08. Resolvendo, tempos que P = 20,88.
      ___
      Há um teorema que garante a igualdade um tempo antes do primeiro pagamento. Por exemplo, se no caso acima, a primeira prestação fosse no ato da compra (no tempo zero), para igualar faríamos todas as prestações 1 tempo antes do tempo zero e traríamos 120 para 120/(1+0,08).

      Excluir
  2. Olá Charles:

    O seu exemplo não está de acordo com o teorema, haja vista, que ele diz: "... um tempo antes do primeiro pagamento...(Série antecipada), e no seu exemplo a primeira prestação é paga um mês após a compra.(Série postecipada).

    Abraços

    Prof. Sebá

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Sebá!

      É isto mesmo que fala o teorema, ele é aplicado, quando nós trazemos o pagamento para um tempo anterior ao descrito à primeira prestação.

      Este exemplo foi retirado do livro indicado na referência, justamente elucidando o teorema (As prestações do exemplo são realmente ditas postecipadas, pois a primeira prestação só é paga um tempo depois da compra). Ocorre que quando igualamos os valores à vista e em prestações num mesmo tempo, acabamos por trazer as prestações para um tempo antes da primeira e isso permite o uso do teorema.

      Veja na imagem, que a primeira prestação é no tempo 1, e o que fazemos ao utilizar o teorema e trazer as prestações para o tempo 0, para que se possa comparar com o valor para pagamento à vista (que é no tempo 0), já que as comparações só podem ser feitas em um mesmo tempo.

      ____

      Com isso, não é a situação que tem que ocorrer com um tempo antes da primeira parcela, nós é que provocamos isso, para que se possa utilizar o teorema (ele está demonstrado, juntamente com o conteúdo e exemplo, nas páginas 100 a 103 do livro citado na referência).

      Excluir