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Relação entre as médias: aritmética, geométrica, harmônica e quadrática

É importante entender a relação entre as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática, pois o uso destas relações permite resolver vários problemas.

Médias

Em matemática, média é uma das medidas de tendência central ou medida de posição. Outras medidas de tendência central são, por exemplo, mediana e moda. Estas medidas podem ser estudadas de modo mais abrangente no artigo Medidas de tendência central: média, moda e mediana, do "Vivendo Entre Símbolos". 

Há também um artigo sobre estas quatro médias aqui no TICs na Matemática, em que apresento um modo de calcular a média entre dois números usando o GeoGebra, e  ainda indico uma breve descrição sobre como calcular cada uma destas médias.

O cálculo da média é bastante usual no cotidiano. É comum o uso para encontrar valores como salário médio dos empregados, estatura média de um time ou consumo médio de gasolina.

Relação entre as médias: aritmética, geométrica, harmônica e quadrática

É importante entender a relação entre as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática, pois o uso destas relações permite resolver problemas que por vezes parecem não ter qualquer relação com elas. Mais a frente veremos exemplos de situações resolvidas utilizando algumas destas relações.


Relação entre as médias


Definamos as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática a partir de uma lista com $n$ números (valores) positivos $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$. Cada uma delas é representada pela seguinte equação:

Média aritmética 

$\bar { x } =\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 }+\cdots +{ x }_{ n } }{ n } $

Média geométrica


$g=\sqrt [ n ]{ { x }_{ 1 }\cdot { x }_{ 2 }\cdot { x }_{ 3 }\cdot \cdots \cdot { x }_{ n } } $

Média harmônica


$h=\frac { n }{ \frac { 1 }{ { x }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { x }_{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }_{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { x }_{ n } }  } $

Média quadrática


$q=\sqrt { \frac { { x }_{ 1 }^{ 2 }+{ x }_{ 2 }^{ 2 }+{ x }_{ 3 }^{ 2 }+\cdots +{ x }_{ n }^{ 2 } }{ n }  }$ 


A relação entre estas médias é dada por:
Se $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ são números positivos e $Q$, $A$, $G$ e $H$ são suas médias quadrática, aritmética, geométrica e harmônica, respectivamente, então $Q\ge A\ge G\ge H$. Além disso, duas quaisquer dessas médias são iguais se, e somente se, os números da lista são todos iguais, $x_1=x_2=x_3=\cdots=x_n$.

Não nos preocupamos em verificar (demonstrar) nesta postagem, tal relação entre as médias. O artigo de André Costa da Fonte, "Médias, desigualdades e problemas de otimização", apresenta um bom conteúdo sobre as médias e breve demonstração de algumas dessas desigualdades.


Exemplos de uso desta relação


1) Mostre que, entre todos os retângulos de perímetro $2p$, o quadrado é o de maior área.
Solução.
Se os lados do retângulo são $x$ e $y$, temos $x + y = p$, isto é, a média aritmética de $x$ e $y$ é igual a $\cfrac{p}{2}$. A área do retângulo é $S = xy$. Temos
$\sqrt { S } =\sqrt { xy } \le \cfrac { x+y }{ 2 } =\cfrac { p }{ 2 } $
Portanto,
$S\le \cfrac { { p }^{ 2 } }{ 4 } $
e a igualdade só é obtida quando $x = y$. Portanto, o retângulo de maior área é o quadrado de área $\cfrac { { p }^{ 2 } }{ 4 }$.

* Observe que a desigualdade é possível, pois $\sqrt { xy }$ (área do retângulo) é a média geométrica de $x$ e $y$ e $ \cfrac { x+y }{ 2 } $ (perímetro) é a média aritmética de $x$ e $y$, e temos que $A\ge G$ (a média aritmética é maior que ou igual à média geométrica).


2) Mostre que, entre todos os retângulos de área A, o quadrado é o de menor perímetro.
Solução.
Se os lados do retângulo são $x$ e $y$, temos $xy = A$ (área), isto é, a média geométrica de $x$ e $y$ é igual a $\sqrt{A}$. O perímetro do retângulo é $2(x + y)$. Temos
$2\left( x+y \right) = 4\left( \cfrac { x+y }{ 2 }  \right) \ge 4\sqrt { xy }=4\sqrt { A } $
Portanto, $2\left( x+y \right) \ge 4\sqrt { A }$ e a igualdade só é obtida quando $x = y$. Portanto, o retângulo de menor perímetro é o quadrado de perímetro $4\sqrt { A }$.


Outros exemplos:
3) Prove que o produto de dois números de soma constante é máximo quando esses números são iguais.

4) Prove que a soma de dois números positivos de produto constante é mínima quando esses números são iguais.

5) Um mágico se apresenta usando um paletó cintilante e uma calça colorida e não repete em suas apresentações o mesmo conjunto de calça e paletó. Para poder se apresentar em 500 espetáculos, qual o menor número de peças de roupa que pode ter seu guarda-roupa?

6) Prove que entre todos os triângulos de perímetro constante, o equilátero é o de maior área.


Referências


FONTE, André da Costa. Médias, desigualdades e problemas de otimização. Universidade Federal Rural de Pernambuco. Recife, 2013.

MORGADO, Augusto César. CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Matemática discreta. Coleção PROFMAT. SBM, 2014, Rio de Janeiro, 1ª Edição.

Site: Vivendo Entre Símbolos.


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Charles Bastos

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2 comentários:

  1. Olá Charles!

    Primeiramente queria lhe dar os parabéns pelo ótimo artigo. Esse conteúdo é bem complicado de ser encontrado na internet de forma tão detalhada e explicada. Você fez uma ótima publicação e uma bela abordagem sobre os temas que envolvem médias. Poucos são os que sabem que não existem somente as medidas de média, moda e mediana nesse conteúdo.

    Obrigado pela citação de meu artigo, isso é bem bacana de sua parte, sei que não consigo explicar tão bem como você, mas me esforço como posso para criar meus artigos no VS.

    Ótima artigo, leitura agradável e de fácil compreensão, parabéns... Que venham os próximos...

    Romirys Cavalcante

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Romirys!

      Quando estudei um pouco sobre o conteúdo este ano, e vi seu uso na resolução de determinados exercícios, percebi que o que aprendemos no ensino médio ou na graduação é nada,... E que precisamos estudar sozinhos e nos dedicar, se quisermos aprender um pouco (99% de nós, há 1% que são ótimos, eu sou apenas um insistente).

      Na verdade, caberia demonstrar as relações entre as médias, mas preferi deixar as demonstrações para uma outra postagem mais a frente, ou esta ficaria um pouco extensa.

      Disponha quanto a citação, sua publicação é bem detalhada, e tem uma boa discussão nos comentários; você mesmo já ressaltou o considerável número de acessos a esta postagem. Você explica muito bem, e com o tempo isso só melhora, já percebi que você não é daqueles que permanece inerte a partir de determinado estágio.

      Certamente haverão outras postagens mais a frente sobre o tema. Espero contar com você averiguando e se propondo a discutir quaisquer equívocos ou acréscimos!

      Obrigado pelo comentário. Até Breve!

      Charles Bastos.

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