Esta é a última postagem das 5 que destaca um pouco sobre representações em matemática, de um trabalho que organizei neste ano de 2016. As demais postagens podem ser acessadas pela ordem:
- Notas sobre representações e geometria na história da Matemática;
- Apontamentos sobre o ensino de geometria nas escolas públicas;
- Afinal, o que são estas tais representações em Matemática;
- Língua, linguagem e algumas formas de representação em Matemática.
Conexões na Matemática
Historicamente, percebe-se que a matemática foi sendo estruturada através da relação de inúmeros conhecimentos de diversas áreas; aos poucos, foi se desdobrando em vários segmentos, originando novas áreas de estudo e dentro de determinada área vieram subáreas. Muitas destas áreas têm estudos independentes e ao mesmo tempo estão relacionadas umas as outras. O ensino e a aprendizagem precisam ser desenvolvidos de modo a valorizar relações entre as diversas áreas da matemática.
a geometria é a mais eficiente conexão didático-pedagógica da Matemática. Interliga-se com a aritmética e com a álgebra, porque os objetos e relações dela correspondem aos das outras; assim sendo, conceitos, propriedades e questões aritméticas ou algébricas podem ser classificados pela geometria, que realiza uma verdadeira tradução para o aprendiz. [Lorenzato, p.07]
Muitos livros didáticos apresentam capítulos ou unidades específicos a cada conteúdo. O que mais se faz é dividir os conteúdos específicos da álgebra, aritmética ou geometria (por exemplo) em várias unidades e a cada bimestre (etapa) é ensinado parte de cada uma destas áreas. Mesmo assim, os conteúdos não estão mesclados, não há uma relação direta entre eles, é mais uma fragmentação de conteúdos, justificada pela necessidade do(a) estudante aprender um pouco dos conteúdos de várias áreas durante um período letivo.
Ocorre que não há uma continuidade destes estudos por conta das práticas de ensino e aprendizagem tomadas pelos professores; por vezes, a cada novo período letivo, volta-se ao ponto inicial, repetindo os mesmos conteúdos sem que relacione as várias áreas de estudo em matemática. Abre-se uma lacuna de conhecimentos não estudados e grupos de conteúdos que pouco se entremeiam.
Tomando o livro didático do 9º ano (Ensino Fundamental) da coleção "Matemática: teoria e contexto'' de Centurión e Jacubovic como exemplo, os capítulos 1 (Geometria: ampliação e reduções), 5 (Geometria e medidas: comprimentos) e 6 (Geometria e medidas: áreas e volumes) são específicos à geometria, tendo ainda no capítulo 3 (Reunindo geometria e álgebra) duas unidades tratando sobre 'representação geométrica de uma equação' e 'resolução gráfica de sistemas de equações'.
Neste mesmo livro, percebe-se que não só nos capítulos citados, mas aos demais, há a preocupação por representar objetos matemáticos e de relacionar características destes objetos em suas representações. O livro didático (versão do professor) apresenta ainda uma série de recomendações a respeito da prática e destaca sobre [p.12, \textit{manual do professor}] "o valor da visualização e da representação espaciais que colaboram para o desenvolvimento do pensamento geométrico''.
Algo interessante no livro didático do 9º ano, do projeto Velear: Matemática de Antonio J. L. Bigode, é a presença da unidade 2 nomeada "Geometria e argumentação'' em que se destacam demonstrações, construções, cuidados ao usar representações, a prova visual do Teorema de Pitágoras e enfoque histórico e matemático do livro Os Elementos. Apesar deste enfoque especial na unidade 2, o livro possui características que evidenciam relações entre as áreas da matemática, presentes nas apresentações dos conteúdos e nos problemas propostos.
Alguns momentos em que se percebe que no Ensino Fundamental e no Ensino Médio há a aproximação entre áreas da matemática é no uso de problemas como estratégias de ensino e aprendizagem; algo crescente nos livros didáticos e nos instrumentos de avaliação do ensino no Brasil, mas pouco explorado pelos professores. Comumente, nas aulas, o que se vê é um roteiro a cumprir: conceitos, exemplos específicos e listas de exercícios (fechadas, específicas, maçantes); basicamente através de algum livro didático. Não são criadas situações que permitam ao(à) estudante, por exemplo associar áreas da matemática, perceber a origem de determinado conceito, propor aplicações em outros campos da Matemática, de outras disciplinas ou em situações reais.
estimular, em sala de aula, a utilização de diferentes registros de representação, e principalmente, a mobilização de um tipo de representação para outro, auxiliará na compreensão dos conceitos matemáticos, por parte dos estudantes. (...) a aprendizagem de um objeto matemático não está apenas associada aos conteúdos presentes nos conceitos estudados, mas especificamente, ao estabelecimento de relações com as diversas formas de representação. [Silva, p.21-22, grifo nosso.]
Quer-se enfatizar não somente o uso de representações, mas também como relacionar suas diferentes formas; o(à) estudante que consegue partir de uma e chegar a outras representações, demonstra ter compreendido determinados conceitos ali empregados e mais, apresenta novas características a respeito do objeto de estudo. Para a maioria das áreas da Matemática, é visível o uso de diferentes formas de representação em sua estrutura. A geometria é organizada e estudada sob diversas divisões, e mesmo assim, é necessário o emprego de mais de uma forma de representação.
Ensinar matemática demanda relacionar diversas áreas (geometria, aritmética, álgebra) de modo a não se prender somente em procedimentos repetitivos, mas procurando despertar e ampliar algumas habilidades nos estudantes. Uma atividade importante que permite tal relação é o criar e resolver problemas. De início, nas séries finais do Ensino Fundamental I, propõe-se que sejam criados problemas livres, quando necessário o professor orienta e organiza o problema com seu aluno e então distribui a lista de problemas para que toda turma possa resolvê-los. No Ensino Fundamental II, já com posse de mais conceitos e propriedades, começam a haver direcionamentos de elementos mínimos aos problemas que serão criados e a atividade deve ser repetida e ganhar novos elementos progressivamente.
Rogenski e Pedroso, destacam que a dificuldade e o não entendimento dos estudantes do Ensino Médio em geometria espacial e com relação a cálculos de áreas e volumes deve-se
à defasagem existente no Ensino Fundamental, em que a geometria nem sempre é apresentada ao aluno inter-relacionada com os demais conteúdos estruturantes, como a álgebra e números, torna-se mera ilustração e exemplificação, sem entendimento de conceitos e propriedades. [Rogenski e Pedroso, p.02]
a geometria promove o entendimento de diferentes conteúdos matemáticos, é por isso que precisa ser trabalhada em conjunto com cada conteúdo, pois dessa forma os alunos entenderão melhor até mesmo o cálculo algébrico, que, muitas vezes, parece ser abstrato. [Rogenski e Pedroso, p.06]
Portanto, é importante e necessário, associar as diversas áreas da Matemática. Álgebra, aritmética, geometria, e outras áreas precisam ser estudadas e aprendidas de modo que sejam relacionadas; mesmo que numa proposta de ensino específico de cada uma, dentro de determinada área cabe enfatizar como ela está relacionada com outras. Os livros didáticos de matemática são cada vez melhor estruturados, exploram as representações geométricas e buscam relacionar diversos conteúdos de modo a evidenciar que não devem existir blocos isolados da Matemática, que cada um destes blocos possuem representações específicas, mas contribuem um com o outro.
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